ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 8 · ФИПИ 5FF5AA180 из 321

Степень произведения и сокращение — (3¹³⋅7¹⁰)/(21¹⁰)

Найдите значение выражения $\frac{3^{13} \cdot 7^{10}}{21^{10}}$ .

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 27.

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения $\dfrac{{3}^{13}\cdot{7}^{10}}{{21}^{10}}$ .

Короткий ход решения

Разлагаем основания на одинаковые множители и сокращаем степени. Значение выражения — $27$ .

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное выражение: $\dfrac{{3}^{13}\cdot{7}^{10}}{{21}^{10}}$
Способ решения: Разлагаем основания на одинаковые множители и сокращаем степени.

В знаменателе стоит основание 21. Разложим его на те же множители, что есть в числителе: 3 и 7.

21

=3

\cdot7

{21}^{10}

={(3\cdot7)}^{10}

={3}^{10}

\cdot{7}^{10}

Степень произведения равна произведению степеней: внешний показатель относится к обоим множителям.

Для основания 3 вычитаем показатели 13-10; для основания 7 — 10-10.

\frac{{3}^{13}\cdot{7}^{10}}{{21}^{10}}

=\frac{{3}^{13}\cdot{7}^{10}}{{3}^{10}\cdot{7}^{10}}

={3}^{13-10}

\cdot{7}^{10-10}

={3}^{3}

\cdot{7}^{0}

13

-10

=3

10

-10

=0

Сокращаются одинаковые множители, а не отдельные цифры. Если показатель становится нулём, ненулевое число в нулевой степени равно 1.

Сначала считаем каждую степень, потом перемножаем результаты.

{3}^{3}

=3

\cdot3

\cdot3

=27

{7}^{0}

=1

{3}^{3}

\cdot{7}^{0}

=27

\cdot1

=27

Большие исходные степени считать целиком не пришлось.

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

27

Записываем только число: 27. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Порядок действий для задач этого типа

Разлагаем основания на одинаковые множители и сокращаем степени.
Выполняйте преобразования последовательно: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Если есть переменные, подставляйте заданные значения после упрощения; отдельно проверьте знаки и ненулевые знаменатели.
Сверьте последнее вычисление и запишите только число. Не округляйте точные промежуточные результаты.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Свойства степеней, корней и правила преобразований

Степень показывает, сколько одинаковых множителей перемножают. Складывать или вычитать показатели можно только при одинаковых основаниях.
В степени степени показатели перемножают. При возведении произведения в степень возводят в неё каждый множитель.
Отрицательный показатель означает обратную величину: например, $2^{-3}=\dfrac{1}{8}$ . Нулевой показатель ненулевого числа даёт 1.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

На что обратить внимание при самопроверке

Не перемножайте показатели при обычном умножении степеней: здесь их складывают.
При делении вычитайте показатель знаменателя из показателя числителя; следите за отрицательными числами.