ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 8 · ФИПИ B54715105 из 321

Разность квадратов с корнями — (√(5)−√(3))(√(5)+√(3))

Найдите значение выражения $(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})$ .

Условие: открытый банк ФИПИ, задание B54715.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 2.

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения $(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})$ .

Короткий ход решения

Произведение суммы и разности превращаем в разность квадратов. Значение выражения — $2$ .

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное выражение: $(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})$
Способ решения: Произведение суммы и разности превращаем в разность квадратов.

1. Замечаем одинаковые части в двух скобках

В скобках повторяются одни и те же два числа, но между ними разные знаки. Здесь работает формула разности квадратов: произведение суммы и разности равно разности квадратов.

(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})

Первая часть — $\sqrt{5}$ , вторая — $\sqrt{3}$ .

2. Показываем, почему исчезают средние слагаемые

Умножаем каждое слагаемое первой скобки на каждое слагаемое второй. Два одинаковых произведения получаются с противоположными знаками и дают ноль.

(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})

={(\sqrt{5})}^{2}

+\sqrt{5}

\cdot\sqrt{3}

-\sqrt{5}

\cdot\sqrt{3}

-{(\sqrt{3})}^{2}

={(\sqrt{5})}^{2}

-{(\sqrt{3})}^{2}

Именно поэтому остаётся разность квадратов, а не сумма и не квадрат разности.

3. Возводим обе части в квадрат

Квадрат корня равен подкоренному числу. Если вторая часть — обычное число, его действительно нужно умножить на себя.

{(\sqrt{5})}^{2}

=5

{(\sqrt{3})}^{2}

=3

(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})

=5

-3

=2

Учитываем знак минус перед вторым квадратом.

4. Записываем ответ

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

2

Записываем только число: 2. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Проверяем вычисления
Данные из условия	Результат
Исходное выражение	$(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})$
Упрощённое выражение	$2$
Точное значение для ответа	$2$

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Произведение суммы и разности превращаем в разность квадратов.
Выполняйте преобразования последовательно: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Если есть переменные, подставляйте заданные значения после упрощения; отдельно проверьте знаки и ненулевые знаменатели.
Сверьте последнее вычисление и запишите только число. Не округляйте точные промежуточные результаты.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Свойства степеней, корней и правила преобразований

Арифметический квадратный корень — неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному числу.
Корень из произведения неотрицательных чисел можно представить как произведение корней. Для частного знаменатель должен быть положительным.
Корень из квадрата выражения равен модулю этого выражения: знак результата не может быть отрицательным.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не заменяйте квадратный корень делением на 2.
Корень нельзя распределять по сумме или разности: сначала преобразуйте всё подкоренное выражение.
Не теряйте модуль при извлечении корня из квадрата.

Все задания №8 (321)