ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 8 · ФИПИ 1B7BF727 из 321

Степень произведения и сокращение — (a²³⋅(b⁵)⁴)/((a⋅b)²⁰) при a=2, b=√(2)

Найдите значение выражения $\frac{a^{23} \cdot {(b^{5})}^{4}}{{(a \cdot b)}^{20}}$ при $a = 2$ и $b = \sqrt{2}$ .

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 8.

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения $\dfrac{{a}^{23}\cdot{({b}^{5})}^{4}}{{(a\cdot b)}^{20}}$ .

Короткий ход решения

Разлагаем основания на одинаковые множители и сокращаем степени. После упрощения получаем $a^{3}$ . Значение выражения — $8$ .

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное выражение: $\dfrac{{a}^{23}\cdot{({b}^{5})}^{4}}{{(a\cdot b)}^{20}}$
Значение a: $a=2$
Значение b: $b=\sqrt{2}$
Способ решения: Разлагаем основания на одинаковые множители и сокращаем степени.

В степени степени показатели умножаем. В степени произведения возводим в степень оба множителя.

{({b}^{5})}^{4}

={b}^{5\cdot4}

={b}^{20}

{(a\cdot b)}^{20}

={a}^{20}

\cdot{b}^{20}

Степень b в числителе и знаменателе стала одинаковой: 20.

Заданные a и b не равны нулю. Поэтому одинаковые степени b сокращаются, а для a вычитаем показатели 23 и 20.

\frac{{a}^{23}\cdot{({b}^{5})}^{4}}{{(a\cdot b)}^{20}}

=\frac{{a}^{23}\cdot{b}^{20}}{{a}^{20}\cdot{b}^{20}}

={a}^{23-20}

={a}^{3}

Число под корнем в значении b вычислять не нужно: множитель с b сократился полностью. Это следует из преобразования, а не из округления корня.

Выражение уже упростилось до ${a}^{3}$ . Теперь вместо a подставляем $2$ .

{a}^{3}

={2}^{3}

Значение переменной не меняет правило степеней; подстановка просто превращает буквенную запись в числовую.

Показатель 3 означает произведение 3 одинаковых множителей.

{2}^{3}

=2

\cdot2

\cdot2

=8

Не умножайте основание на показатель: степень означает повторное умножение основания на себя.

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

8

Записываем только число: 8. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Порядок действий для задач этого типа

Разлагаем основания на одинаковые множители и сокращаем степени.
Выполняйте преобразования последовательно: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Если есть переменные, подставляйте заданные значения после упрощения; отдельно проверьте знаки и ненулевые знаменатели.
Сверьте последнее вычисление и запишите только число. Не округляйте точные промежуточные результаты.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Свойства степеней, корней и правила преобразований

Степень показывает, сколько одинаковых множителей перемножают. Складывать или вычитать показатели можно только при одинаковых основаниях.
В степени степени показатели перемножают. При возведении произведения в степень возводят в неё каждый множитель.
Отрицательный показатель означает обратную величину: например, $2^{-3}=\dfrac{1}{8}$ . Нулевой показатель ненулевого числа даёт 1.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

На что обратить внимание при самопроверке

Не перемножайте показатели при обычном умножении степеней: здесь их складывают.
При делении вычитайте показатель знаменателя из показателя числителя; следите за отрицательными числами.