ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 8 · ФИПИ 64F1EC254 из 321

Корни из выражений с переменными — √((1)/(4)⋅x⁸y⁴) при x=2, y=3

Найдите значение выражения $\sqrt{\frac{1}{4} \cdot x^{8} y^{4}}$ при $x = 2$ и $y = 3$ .

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 64F1EC.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 72.

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения $\sqrt{\dfrac{1}{4}\cdot{x}^{8}{y}^{4}}$ .

Короткий ход решения

Упрощаем степени под корнем, проверяем знаки переменных и подставляем их значения. После упрощения получаем $\dfrac{x^{4} y^{2}}{2}$ . Значение выражения — $72$ .

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное выражение: $\sqrt{\dfrac{1}{4}\cdot{x}^{8}{y}^{4}}$
Значение x: $x=2$
Значение y: $y=3$
Способ решения: Упрощаем степени под корнем, проверяем знаки переменных и подставляем их значения.

1. Рассматриваем каждый множитель под корнем

Значения x и y из условия положительны. Поэтому корни из их чётных степеней извлекаются без изменения знака; знаменатель не равен нулю.

\sqrt{{x}^{8}}

=|{x}^{4}|

={x}^{4}

\sqrt{{y}^{4}}

=|{y}^{2}|

={y}^{2}

\sqrt{\frac{1}{4}}

=\frac{1}{2}

Показатели делятся пополам, потому что исходные степени — полные квадраты. Положительность переменных объясняет снятие модулей.

2. Собираем упрощённое выражение

Сохраняем расположение числителя и знаменателя и подставляем найденные корни.

\sqrt{\frac{1}{4}\cdot{x}^{8}{y}^{4}}

=\frac{{x}^{4}{y}^{2}}{2}

Если под корнем стояла дробь, после извлечения корня она остаётся дробью.

3. Подставляем значения переменных

После упрощения заменяем каждую переменную её значением из условия.

\frac{{x}^{4}{y}^{2}}{2}

=\frac{{(2)}^{4}{(3)}^{2}}{2}

Сначала считаем оставшиеся степени, затем произведение или частное.

4. Вычисляем оставшиеся степени и дробь

Покажем числовые значения степеней и выполним последние действия.

{2}^{4}

=2

\cdot2

\cdot2

\cdot2

=16

{3}^{2}

=3

\cdot3

=9

\frac{{(2)}^{4}{(3)}^{2}}{2}

=72

Округлять промежуточные результаты не нужно: вычисления точные.

5. Записываем ответ

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

72

Записываем только число: 72. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Проверяем вычисления
Данные из условия	Результат
Исходное выражение	$\sqrt{\dfrac{1}{4}\cdot{x}^{8}{y}^{4}}$
Упрощённое выражение	$\dfrac{x^{4} y^{2}}{2}$
Точное значение для ответа	$72$

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Упрощаем степени под корнем, проверяем знаки переменных и подставляем их значения.
Выполняйте преобразования последовательно: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Если есть переменные, подставляйте заданные значения после упрощения; отдельно проверьте знаки и ненулевые знаменатели.
Сверьте последнее вычисление и запишите только число. Не округляйте точные промежуточные результаты.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Свойства степеней, корней и правила преобразований

Арифметический квадратный корень — неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному числу.
Корень из произведения неотрицательных чисел можно представить как произведение корней. Для частного знаменатель должен быть положительным.
Корень из квадрата выражения равен модулю этого выражения: знак результата не может быть отрицательным.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не заменяйте квадратный корень делением на 2.
Корень нельзя распределять по сумме или разности: сначала преобразуйте всё подкоренное выражение.
Не теряйте модуль при извлечении корня из квадрата.

Все задания №8 (321)