Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 8 · ФИПИ 1D520550 из 321

Произведение и частное корней — 9√(7)⋅2√(2)⋅√(14)

Найдите значение выражения 97⋅22⋅14.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 1D5205.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 252.

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения 97⋅22⋅149\sqrt{7}\cdot2\sqrt{2}\cdot\sqrt{14}.

Короткий ход решения

Объединяем корни, выполняем действия под корнем и находим точное значение. Значение выражения — 252252.

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное выражение
97⋅22⋅149\sqrt{7}\cdot2\sqrt{2}\cdot\sqrt{14}
Способ решения
Объединяем корни, выполняем действия под корнем и находим точное значение.

1. Группируем обычные множители и корни

Числа 9 и 2 находятся перед корнями. Перемножим их отдельно; подкоренные числа 7, 2 и 14 объединим под одним корнем.

979\sqrt{7}⋅22\cdot2\sqrt{2}⋅14\cdot\sqrt{14}=9=9⋅2\cdot2⋅7⋅2⋅14\cdot\sqrt{7\cdot2\cdot14}
99⋅2\cdot2=18=18

При перестановке множителей произведение не меняется. Коэффициенты перед корнями нельзя потерять.

2. Вычисляем подкоренное произведение

Перемножаем подкоренные числа последовательно.

77⋅2\cdot2=14=14
1414⋅14\cdot14=196=196
979\sqrt{7}⋅22\cdot2\sqrt{2}⋅14\cdot\sqrt{14}=18=18⋅196\cdot\sqrt{196}

Перед корнем остаётся множитель 18.

3. Находим полный квадрат без угадывания

Чтобы понять, откуда берётся корень из 196, последовательно делим это число на простые множители. В конце получаем 1, поэтому все множители учтены.

196:2196:2=98=98
98:298:2=49=49
49:749:7=7=7
7:77:7=1=1
196196=22={2}^{2}⋅72\cdot{7}^{2}=(2⋅7)2={(2\cdot7)}^{2}
22⋅7\cdot7=14=14

Каждый простой множитель встретился чётное число раз. Из каждой пары одинаковых множителей один выходит из-под корня; их произведение и даёт искомое число.

4. Извлекаем корень и завершаем вычисление

Число 14 неотрицательно, и его квадрат равен 196. Поэтому корень равен 14.

142{14}^{2}=14=14⋅14\cdot14=196=196
196\sqrt{196}=14=14
979\sqrt{7}⋅22\cdot2\sqrt{2}⋅14\cdot\sqrt{14}=18=18⋅14\cdot14=252=252

Проверка возведением в квадрат объясняет, откуда появилось значение корня.

5. Записываем ответ

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

252252

Записываем только число: 252. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Проверяем вычисления
Данные из условияРезультат
Исходное выражение97⋅22⋅149\sqrt{7}\cdot2\sqrt{2}\cdot\sqrt{14}
Упрощённое выражение252252
Точное значение для ответа252252

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Объединяем корни, выполняем действия под корнем и находим точное значение.
  2. Выполняйте преобразования последовательно: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
  3. Если есть переменные, подставляйте заданные значения после упрощения; отдельно проверьте знаки и ненулевые знаменатели.
  4. Сверьте последнее вычисление и запишите только число. Не округляйте точные промежуточные результаты.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Свойства степеней, корней и правила преобразований
  • Арифметический квадратный корень — неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному числу.
  • Корень из произведения неотрицательных чисел можно представить как произведение корней. Для частного знаменатель должен быть положительным.
  • Корень из квадрата выражения равен модулю этого выражения: знак результата не может быть отрицательным.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не заменяйте квадратный корень делением на 2.
  • Корень нельзя распределять по сумме или разности: сначала преобразуйте всё подкоренное выражение.
  • Не теряйте модуль при извлечении корня из квадрата.
Все задания №8 (321)