ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 8 · ФИПИ 49215A155 из 321

Произведение и частное корней — 7√(15)⋅2√(2)⋅√(30)

Найдите значение выражения $7 \sqrt{15} \cdot 2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{30}$ .

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 49215A.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 420.

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения $7\sqrt{15}\cdot2\sqrt{2}\cdot\sqrt{30}$ .

Короткий ход решения

Объединяем корни, выполняем действия под корнем и находим точное значение. Значение выражения — $420$ .

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное выражение: $7\sqrt{15}\cdot2\sqrt{2}\cdot\sqrt{30}$
Способ решения: Объединяем корни, выполняем действия под корнем и находим точное значение.

1. Группируем обычные множители и корни

Числа 7 и 2 находятся перед корнями. Перемножим их отдельно; подкоренные числа 15, 2 и 30 объединим под одним корнем.

7\sqrt{15}

\cdot2\sqrt{2}

\cdot\sqrt{30}

=7

\cdot2

\cdot\sqrt{15\cdot2\cdot30}

7

\cdot2

=14

При перестановке множителей произведение не меняется. Коэффициенты перед корнями нельзя потерять.

2. Вычисляем подкоренное произведение

Перемножаем подкоренные числа последовательно.

15

\cdot2

=30

30

\cdot30

=900

7\sqrt{15}

\cdot2\sqrt{2}

\cdot\sqrt{30}

=14

\cdot\sqrt{900}

Перед корнем остаётся множитель 14.

3. Находим полный квадрат без угадывания

Чтобы понять, откуда берётся корень из 900, последовательно делим это число на простые множители. В конце получаем 1, поэтому все множители учтены.

900:2

=450

450:2

=225

225:3

=75

75:3

=25

25:5

=5

5:5

=1

900

={2}^{2}

\cdot{3}^{2}

\cdot{5}^{2}

={(2\cdot3\cdot5)}^{2}

2

\cdot3

\cdot5

=30

Каждый простой множитель встретился чётное число раз. Из каждой пары одинаковых множителей один выходит из-под корня; их произведение и даёт искомое число.

4. Извлекаем корень и завершаем вычисление

Число 30 неотрицательно, и его квадрат равен 900. Поэтому корень равен 30.

{30}^{2}

=30

\cdot30

=900

\sqrt{900}

=30

7\sqrt{15}

\cdot2\sqrt{2}

\cdot\sqrt{30}

=14

\cdot30

=420

Проверка возведением в квадрат объясняет, откуда появилось значение корня.

5. Записываем ответ

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

420

Записываем только число: 420. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Проверяем вычисления
Данные из условия	Результат
Исходное выражение	$7\sqrt{15}\cdot2\sqrt{2}\cdot\sqrt{30}$
Упрощённое выражение	$420$
Точное значение для ответа	$420$

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Объединяем корни, выполняем действия под корнем и находим точное значение.
Выполняйте преобразования последовательно: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Если есть переменные, подставляйте заданные значения после упрощения; отдельно проверьте знаки и ненулевые знаменатели.
Сверьте последнее вычисление и запишите только число. Не округляйте точные промежуточные результаты.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Свойства степеней, корней и правила преобразований

Арифметический квадратный корень — неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному числу.
Корень из произведения неотрицательных чисел можно представить как произведение корней. Для частного знаменатель должен быть положительным.
Корень из квадрата выражения равен модулю этого выражения: знак результата не может быть отрицательным.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не заменяйте квадратный корень делением на 2.
Корень нельзя распределять по сумме или разности: сначала преобразуйте всё подкоренное выражение.
Не теряйте модуль при извлечении корня из квадрата.

Все задания №8 (321)