ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 8 · ФИПИ 9AC933297 из 321

Степень произведения и сокращение — (a¹⁸⋅(b⁷)²)/((a⋅b)¹⁴) при a=3, b=√(3)

Найдите значение выражения $\frac{a^{18} \cdot {(b^{7})}^{2}}{{(a \cdot b)}^{14}}$ при $a = 3$ и $b = \sqrt{3}$ .

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 81.

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения $\dfrac{{a}^{18}\cdot{({b}^{7})}^{2}}{{(a\cdot b)}^{14}}$ .

Короткий ход решения

Разлагаем основания на одинаковые множители и сокращаем степени. После упрощения получаем $a^{4}$ . Значение выражения — $81$ .

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное выражение: $\dfrac{{a}^{18}\cdot{({b}^{7})}^{2}}{{(a\cdot b)}^{14}}$
Значение a: $a=3$
Значение b: $b=\sqrt{3}$
Способ решения: Разлагаем основания на одинаковые множители и сокращаем степени.

В степени степени показатели умножаем. В степени произведения возводим в степень оба множителя.

{({b}^{7})}^{2}

={b}^{7\cdot2}

={b}^{14}

{(a\cdot b)}^{14}

={a}^{14}

\cdot{b}^{14}

Степень b в числителе и знаменателе стала одинаковой: 14.

Заданные a и b не равны нулю. Поэтому одинаковые степени b сокращаются, а для a вычитаем показатели 18 и 14.

\frac{{a}^{18}\cdot{({b}^{7})}^{2}}{{(a\cdot b)}^{14}}

=\frac{{a}^{18}\cdot{b}^{14}}{{a}^{14}\cdot{b}^{14}}

={a}^{18-14}

={a}^{4}

Число под корнем в значении b вычислять не нужно: множитель с b сократился полностью. Это следует из преобразования, а не из округления корня.

Выражение уже упростилось до ${a}^{4}$ . Теперь вместо a подставляем $3$ .

{a}^{4}

={3}^{4}

Значение переменной не меняет правило степеней; подстановка просто превращает буквенную запись в числовую.

Показатель 4 означает произведение 4 одинаковых множителей.

{3}^{4}

=3

\cdot3

\cdot3

\cdot3

=81

Не умножайте основание на показатель: степень означает повторное умножение основания на себя.

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

81

Записываем только число: 81. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Порядок действий для задач этого типа

Разлагаем основания на одинаковые множители и сокращаем степени.
Выполняйте преобразования последовательно: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Если есть переменные, подставляйте заданные значения после упрощения; отдельно проверьте знаки и ненулевые знаменатели.
Сверьте последнее вычисление и запишите только число. Не округляйте точные промежуточные результаты.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Свойства степеней, корней и правила преобразований

Степень показывает, сколько одинаковых множителей перемножают. Складывать или вычитать показатели можно только при одинаковых основаниях.
В степени степени показатели перемножают. При возведении произведения в степень возводят в неё каждый множитель.
Отрицательный показатель означает обратную величину: например, $2^{-3}=\dfrac{1}{8}$ . Нулевой показатель ненулевого числа даёт 1.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

На что обратить внимание при самопроверке

Не перемножайте показатели при обычном умножении степеней: здесь их складывают.
При делении вычитайте показатель знаменателя из показателя числителя; следите за отрицательными числами.