ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 8 · ФИПИ 8E2CC0209 из 321

Степень произведения и сокращение — (15⁸)/(3⁶⋅5⁷)

Найдите значение выражения $\frac{15^{8}}{3^{6} \cdot 5^{7}}$ .

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 45.

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения $\dfrac{{15}^{8}}{{3}^{6}\cdot{5}^{7}}$ .

Короткий ход решения

Разлагаем основания на одинаковые множители и сокращаем степени. Значение выражения — $45$ .

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное выражение: $\dfrac{{15}^{8}}{{3}^{6}\cdot{5}^{7}}$
Способ решения: Разлагаем основания на одинаковые множители и сокращаем степени.

Представим основание числителя как произведение 3 и 5. Показатель 8 относится к каждому множителю.

15

=3

\cdot5

{(3\cdot5)}^{8}

={3}^{8}

\cdot{5}^{8}

Теперь в числителе и знаменателе есть степени с одинаковыми основаниями; их можно разделить по отдельности.

Для основания 3 вычитаем показатели 8-6; для основания 5 — 8-7.

\frac{{15}^{8}}{{3}^{6}\cdot{5}^{7}}

=\frac{{3}^{8}\cdot{5}^{8}}{{3}^{6}\cdot{5}^{7}}

={3}^{8-6}

\cdot{5}^{8-7}

={3}^{2}

\cdot{5}^{1}

8

-6

=2

8

-7

=1

Сокращаются одинаковые множители, а не отдельные цифры. Если показатель становится нулём, ненулевое число в нулевой степени равно 1.

Сначала считаем каждую степень, потом перемножаем результаты.

{3}^{2}

=3

\cdot3

=9

{5}^{1}

=5

{3}^{2}

\cdot{5}^{1}

=9

\cdot5

=45

Большие исходные степени считать целиком не пришлось.

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

45

Записываем только число: 45. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Порядок действий для задач этого типа

Разлагаем основания на одинаковые множители и сокращаем степени.
Выполняйте преобразования последовательно: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Если есть переменные, подставляйте заданные значения после упрощения; отдельно проверьте знаки и ненулевые знаменатели.
Сверьте последнее вычисление и запишите только число. Не округляйте точные промежуточные результаты.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Свойства степеней, корней и правила преобразований

Степень показывает, сколько одинаковых множителей перемножают. Складывать или вычитать показатели можно только при одинаковых основаниях.
В степени степени показатели перемножают. При возведении произведения в степень возводят в неё каждый множитель.
Отрицательный показатель означает обратную величину: например, $2^{-3}=\dfrac{1}{8}$ . Нулевой показатель ненулевого числа даёт 1.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

На что обратить внимание при самопроверке

Не перемножайте показатели при обычном умножении степеней: здесь их складывают.
При делении вычитайте показатель знаменателя из показателя числителя; следите за отрицательными числами.