Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 8 · ФИПИ 1C7C6C266 из 321

Произведение и частное корней — √(7⋅45)⋅√(35)

Найдите значение выражения 7⋅45 ⋅ 35 .

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 1C7C6C.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 105.

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения 7⋅45⋅35\sqrt{7\cdot45}\cdot\sqrt{35}.

Короткий ход решения

Объединяем корни, выполняем действия под корнем и находим точное значение. Значение выражения — 105105.

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное выражение
7⋅45⋅35\sqrt{7\cdot45}\cdot\sqrt{35}
Способ решения
Объединяем корни, выполняем действия под корнем и находим точное значение.

1. Объединяем корни

Все множители под корнями неотрицательны, поэтому произведение корней равно корню из произведения.

7⋅45\sqrt{7\cdot45}⋅35\cdot\sqrt{35}=7⋅45⋅35=\sqrt{7\cdot45\cdot35}

Под одним корнем оказались три множителя. Ни один из них не исчезает.

2. Считаем произведение под корнем

Сначала перемножим 7 и 45, затем умножим на 35.

77⋅45\cdot45=315=315
315315⋅35\cdot35=11025=11025
7⋅45\sqrt{7\cdot45}⋅35\cdot\sqrt{35}=11025=\sqrt{11025}

Теперь нужно найти неотрицательное число, квадрат которого равен полученному произведению.

3. Находим полный квадрат без угадывания

Чтобы понять, откуда берётся корень из 11025, последовательно делим это число на простые множители. В конце получаем 1, поэтому все множители учтены.

11025:311025:3=3675=3675
3675:33675:3=1225=1225
1225:51225:5=245=245
245:5245:5=49=49
49:749:7=7=7
7:77:7=1=1
1102511025=32={3}^{2}⋅52\cdot{5}^{2}⋅72\cdot{7}^{2}=(3⋅5⋅7)2={(3\cdot5\cdot7)}^{2}
33⋅5\cdot5⋅7\cdot7=105=105

Каждый простой множитель встретился чётное число раз. Из каждой пары одинаковых множителей один выходит из-под корня; их произведение и даёт искомое число.

4. Извлекаем корень и завершаем вычисление

Число 105 неотрицательно, и его квадрат равен 11025. Поэтому корень равен 105.

1052{105}^{2}=105=105⋅105\cdot105=11025=11025
11025\sqrt{11025}=105=105
7⋅45\sqrt{7\cdot45}⋅35\cdot\sqrt{35}=1=1⋅105\cdot105=105=105

Проверка возведением в квадрат объясняет, откуда появилось значение корня.

5. Записываем ответ

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

105105

Записываем только число: 105. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Проверяем вычисления
Данные из условияРезультат
Исходное выражение7⋅45⋅35\sqrt{7\cdot45}\cdot\sqrt{35}
Упрощённое выражение105105
Точное значение для ответа105105

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Объединяем корни, выполняем действия под корнем и находим точное значение.
  2. Выполняйте преобразования последовательно: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
  3. Если есть переменные, подставляйте заданные значения после упрощения; отдельно проверьте знаки и ненулевые знаменатели.
  4. Сверьте последнее вычисление и запишите только число. Не округляйте точные промежуточные результаты.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Свойства степеней, корней и правила преобразований
  • Арифметический квадратный корень — неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному числу.
  • Корень из произведения неотрицательных чисел можно представить как произведение корней. Для частного знаменатель должен быть положительным.
  • Корень из квадрата выражения равен модулю этого выражения: знак результата не может быть отрицательным.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не заменяйте квадратный корень делением на 2.
  • Корень нельзя распределять по сумме или разности: сначала преобразуйте всё подкоренное выражение.
  • Не теряйте модуль при извлечении корня из квадрата.
Все задания №8 (321)