ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 8 · ФИПИ E30698229 из 321

Полный квадрат и модуль — √(a²+8ab+16b²) при a=3 2/3, b=(1)/(3)

Найдите значение выражения $\sqrt{a^{2} + 8 a b + 16 b^{2}}$ при $a = 3 \frac{2}{3}$ и $b = \frac{1}{3}$ .

Условие: открытый банк ФИПИ, задание E30698.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 5.

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения $\sqrt{{a}^{2}+8ab+16{b}^{2}}$ .

Короткий ход решения

Представляем многочлен как полный квадрат, извлекаем корень через модуль и подставляем значения. После упрощения получаем $\sqrt{a^{2} + 8 a b + 16 b^{2}}$ . Значение выражения — $5$ .

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное выражение: $\sqrt{{a}^{2}+8ab+16{b}^{2}}$
Значение a: $a=\dfrac{11}{3}$
Значение b: $b=\dfrac{1}{3}$
Способ решения: Представляем многочлен как полный квадрат, извлекаем корень через модуль и подставляем значения.

1. Узнаём полный квадрат под корнем

Первое слагаемое — квадрат $a$ , последнее — квадрат $4b$ , а среднее — их удвоенное произведение со знаком плюс.

{(a)}^{2}

=a^{2}

2(a)(4b)

=8 a b

{(4b)}^{2}

=16 b^{2}

{a}^{2}

+8ab

+16{b}^{2}

={(a+4b)}^{2}

Значит, всё подкоренное выражение равно квадрату $a+4b$ . Коэффициенты 1 и 4 взяты из квадратов первого и последнего слагаемых.

2. Правильно извлекаем корень

Корень из квадрата $a+4b$ равен модулю $a+4b$ . Модуль нужен, потому что выражение внутри может оказаться отрицательным.

\sqrt{{a}^{2}+8ab+16{b}^{2}}

=\sqrt{{(a+4b)}^{2}}

=|a+4b|

Сначала найдём значение выражения внутри модуля; только затем решим, как раскрыть модуль.

3. Переводим смешанное число в дробь

Значение a записано смешанным числом: 3 целых и $\dfrac{2}{3}$ . Целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель дробной части.

3

+\frac{2}{3}

=\frac{3\cdot3+2}{3}

=\frac{11}{3}

Получаем $\dfrac{11}{3}$ . Знаменатель 3 сохраняется.

4. Подставляем значения и выполняем действия

Вместо a подставляем $\dfrac{11}{3}$ , вместо b — $\dfrac{1}{3}$ . Сначала умножаем на коэффициенты 1 и 4, затем складываем результаты.

a

+4b

=1(\frac{11}{3})

+4(\frac{1}{3})

=\frac{11}{3}

+(\frac{4}{3})

\frac{11}{3}

+(\frac{4}{3})

=\frac{11+(4)}{3}

=5

Для дробей используем общий знаменатель 3. Числители складываются с учётом знаков.

5. Раскрываем модуль

Внутри модуля получилось $5$ . Число неотрицательно, поэтому модуль его не меняет.

\sqrt{{a}^{2}+8ab+16{b}^{2}}

=|5|

=5

Это согласуется с определением: арифметический квадратный корень не бывает отрицательным.

6. Записываем ответ

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

5

Записываем только число: 5. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Проверяем вычисления
Данные из условия	Результат
Исходное выражение	$\sqrt{{a}^{2}+8ab+16{b}^{2}}$
Упрощённое выражение	$\sqrt{a^{2} + 8 a b + 16 b^{2}}$
Точное значение для ответа	$5$

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Представляем многочлен как полный квадрат, извлекаем корень через модуль и подставляем значения.
Выполняйте преобразования последовательно: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Если есть переменные, подставляйте заданные значения после упрощения; отдельно проверьте знаки и ненулевые знаменатели.
Сверьте последнее вычисление и запишите только число. Не округляйте точные промежуточные результаты.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Свойства степеней, корней и правила преобразований

Арифметический квадратный корень — неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному числу.
Корень из произведения неотрицательных чисел можно представить как произведение корней. Для частного знаменатель должен быть положительным.
Корень из квадрата выражения равен модулю этого выражения: знак результата не может быть отрицательным.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не заменяйте квадратный корень делением на 2.
Корень нельзя распределять по сумме или разности: сначала преобразуйте всё подкоренное выражение.
Не теряйте модуль при извлечении корня из квадрата.

Все задания №8 (321)