ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 8 · ФИПИ 3687E2255 из 321

Степень степени — (a⁵)⁻³:a⁻¹⁹ при a=3

Найдите значение выражения ${(a^{5})}^{- 3} : a^{- 19}$ при $a = 3$ .

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 3687E2.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 81.

Что нужно найти

Найти точное числовое значение выражения ${({a}^{5})}^{-3}:{a}^{-19}$ .

Короткий ход решения

Сначала перемножаем показатели вложенных степеней, затем учитываем умножение и деление. После упрощения получаем $a^{4}$ . Значение выражения — $81$ .

Длинные формулы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Исходное выражение: ${({a}^{5})}^{-3}:{a}^{-19}$
Значение a: $a=3$
Способ решения: Сначала перемножаем показатели вложенных степеней, затем учитываем умножение и деление.

1. Сначала раскрываем степень степени

Степень в скобках уже состоит из одинаковых множителей. Возведение её ещё в одну степень повторяет эти множители: показатели нужно перемножить.

{({a}^{5})}^{-3}

={a}^{5\cdot(-3)}

={a}^{-15}

Поэтому внутренний показатель 5 и внешний показатель -3 дают -15; они не складываются.

2. Учитываем умножение и деление

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются. Само основание сохраняется.

{({a}^{5})}^{-3}:{a}^{-19}

={a}^{-15-(-19)}

-15

-(-19)

=4

{a}^{-15-(-19)}

={a}^{4}

Вычитаем весь показатель знаменателя -19. Вычесть отрицательное число — значит прибавить противоположное положительное.

3. Подставляем заданное значение a

Выражение уже упростилось до ${a}^{4}$ . Теперь вместо a подставляем $3$ .

{a}^{4}

={3}^{4}

Значение переменной не меняет правило степеней; подстановка просто превращает буквенную запись в числовую.

4. Считаем итоговую степень

Показатель 4 означает произведение 4 одинаковых множителей.

{3}^{4}

=3

\cdot3

\cdot3

\cdot3

=81

Не умножайте основание на показатель: степень означает повторное умножение основания на себя.

5. Записываем ответ

Все преобразования закончены. В ответ переносим числовое значение выражения.

81

Записываем только число: 81. Если есть дробная часть, её можно отделить запятой или точкой; слова и знак равенства в поле ответа не нужны.

Проверяем вычисления
Данные из условия	Результат
Исходное выражение	${({a}^{5})}^{-3}:{a}^{-19}$
Упрощённое выражение	$a^{4}$
Точное значение для ответа	$81$

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Сначала перемножаем показатели вложенных степеней, затем учитываем умножение и деление.
Выполняйте преобразования последовательно: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Если есть переменные, подставляйте заданные значения после упрощения; отдельно проверьте знаки и ненулевые знаменатели.
Сверьте последнее вычисление и запишите только число. Не округляйте точные промежуточные результаты.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Свойства степеней, корней и правила преобразований

Степень показывает, сколько одинаковых множителей перемножают. Складывать или вычитать показатели можно только при одинаковых основаниях.
В степени степени показатели перемножают. При возведении произведения в степень возводят в неё каждый множитель.
Отрицательный показатель означает обратную величину: например, $2^{-3}=\dfrac{1}{8}$ . Нулевой показатель ненулевого числа даёт 1.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не перемножайте показатели при обычном умножении степеней: здесь их складывают.
При делении вычитайте показатель знаменателя из показателя числителя; следите за отрицательными числами.

Все задания №8 (321)