Задание 1 из 125Производная и её применение

Линия №9 · Базовый уровень

На рисунке изображён график функции $y$ = $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечено девять точек: $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{7}$ , $x_{8}$ , $x_{9}$ . Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции $f$ ( $x$ ) отрицательна.

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер 71BC43 — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 71BC43

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 4

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно смотреть не на то, выше или ниже оси Ox находится график, а на направление его движения около каждой отмеченной точки. Если при увеличении $x$ значения $f$ ( $x$ ) уменьшаются, то производная в этой точке отрицательна.

Ключевая идея: для графика

y

f

(

x

) неравенство

f

′(

x

) < 0 означает, что функция убывает.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображён график функции $y$ = $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечено девять точек: $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{7}$ , $x_{8}$ , $x_{9}$ .

Нужно найти: количество отмеченных точек, в которых производная функции $f$ ( $x$ ) отрицательна.

План решения: Нужно смотреть не на то, выше или ниже оси Ox находится график, а на направление его движения около каждой отмеченной точки. Если при увеличении $x$ значения $f$ ( $x$ ) уменьшаются, то производная в этой точке отрицательна.

Поясняющая формула для этой задачи

f'(x_i)<0\;\Longleftrightarrow\;f\text{ убывает около }x_i

Проверяем условие отдельно в каждой отмеченной точке и считаем только подходящие точки.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи

Схема к задаче 71BC43: цветом отмечены x₁, x₃, x₆, x₉; всего 4.

Шаг 1. Свяжем знак производной с рисунком

На рисунке дан график самой функции $y$ = $f$ ( $x$ ), поэтому знак производной определяем по направлению движения графика слева направо: на участке убывания $f$ ′( $x$ ) < 0.

Шаг 2. Проверим отмеченные точки

Проверяем только отмеченные точки. График идёт вниз при $x_{1}$ , $x_{3}$ , $x_{6}$ и $x_{9}$ , значит в каждой из этих точек касательная имеет отрицательный наклон.

Шаг 3. Исключим неподходящие точки

В точках $x_{2}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{7}$ и $x_{8}$ график не убывает, поэтому их не считаем.

Шаг 4. Посчитаем выбранные точки

Подходящих точек 4: $x_{1}$ , $x_{3}$ , $x_{6}$ , $x_{9}$ .

Ответ:

4

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Если функция убывает в окрестности точки $x$ ᵢ, то $f$ ′( $x$ ᵢ) < 0; если возрастает, то $f$ ′( $x$ ᵢ) > 0.
Положение графика относительно оси Ox показывает знак $f$ ( $x$ ), но не знак $f$ ′( $x$ ).
Наклон оценивают слева направо: вниз — отрицательная производная, вверх — положительная.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Посчитать точки, где $f$ ( $x$ ) < 0, то есть где график лежит ниже оси Ox.
Включить $x_{7}$ : около этой точки график уже начинает возрастать, хотя расположен ниже оси.
Посчитать все участки убывания вместо четырёх отмеченных точек $x_{1}$ , $x_{3}$ , $x_{6}$ , $x_{9}$ .

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Убедитесь, что дан график $y$ = $f$ ( $x$ ), а не $y$ = $f$ ′( $x$ ).
2Для каждой из девяти точек определите направление графика слева направо.
3Пересчитайте выбранные точки: $x_{1}$ , $x_{3}$ , $x_{6}$ , $x_{9}$ — всего 4.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена