Задание 42 из 125Производная и её применение

Линия №9 · Базовый уровень

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ), определённой на интервале (−9; 10). Найдите количество точек максимума функции $f$ ( $x$ ), принадлежащих отрезку [−6; 8].

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер FFB369 — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: FFB369

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 1

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Считать нужно не вершины волнистого графика производной и не все его нули, а только смены «+» → «−». В заданных границах такой переход единственный.

Ключевая идея: найти единственный на [−6; 8] переход производной из положительной области в отрицательную.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ), определённой на интервале (−9; 10).

Нужно найти: количество точек максимума функции $f$ ( $x$ ), принадлежащих отрезку [−6; 8].

План решения: Считать нужно не вершины волнистого графика производной и не все его нули, а только смены «+» → «−». В заданных границах такой переход единственный.

Поясняющая формула для этой задачи

f'(x)=0,\qquad f':+\to-,\qquad N=1

Для максимума учитываем только указанное направление смены знака.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи

Схема к задаче FFB369: на отрезке [−6; 8] отмечено 1 нужных смен знака.

Шаг 1. Вспомним признак нужного экстремума

Точка максимума функции $f$ ( $x$ ) соответствует переходу производной через ноль с «+» на «−».

Шаг 2. Ограничим график заданным отрезком

Ограничиваем график $y$ = $f$ ′( $x$ ) отрезком [−6; 8] и проверяем все его пересечения с осью Ox внутри этих границ.

Шаг 3. Проверим смены знака

Только в одном пересечении график проходит сверху вниз: слева $f$ ′( $x$ ) > 0, справа $f$ ′( $x$ ) < 0. Остальные нули дают минимумы или не принадлежат отрезку.

Шаг 4. Посчитаем подходящие переходы

Следовательно, на отрезке [−6; 8] имеется 1 точка максимума $f$ ( $x$ ).

Ответ:

1

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

У максимума $f$ ′( $x$ ) меняется с положительного знака на отрицательный.
Переход «−» → «+» создаёт минимум и не учитывается.
Принадлежность точки отрезку проверяют по её абсциссе.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Посчитать все пересечения графика производной с Ox.
Считать максимумы самого графика $y$ = $f$ ′( $x$ ).
Включить переход, лежащий вне [−6; 8].

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Проведите границы $x$ = −6 и $x$ = 8.
2У каждого нуля внутри отрезка проверьте порядок знаков.
3Посчитайте только «+» → «−»: один переход.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №9

Все задания линии №9 →

Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x₁, x₂…FIPI ID 71BC43 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID D13540 Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 3, 4. В…FIPI ID F1BDF1 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID A558FE Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено восемь точек: x₁, x₂…FIPI ID 28FA05 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID 57C40E

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена