Задание 8 из 125Производная и её применение

Линия №9 · Базовый уровень

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ), определённой на интервале (−9; 4). В какой точке отрезка [−2; 3] функция $f$ ( $x$ ) принимает наименьшее значение?

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер C97E7E — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: C97E7E

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 3

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

По графику производной сначала устанавливается монотонность исходной функции. Здесь производная отрицательна на всём заданном отрезке, значит сравнивать внутренние точки не требуется: минимум находится справа.

Ключевая идея:

f

′(

x

) < 0 на [−2; 3], поэтому

f

(

x

) убывает и принимает минимум при

x

= 3.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ), определённой на интервале (−9; 4).

Нужно найти: в какой точке отрезка [−2; 3] функция $f$ ( $x$ ) принимает наименьшее значение.

План решения: По графику производной сначала устанавливается монотонность исходной функции. Здесь производная отрицательна на всём заданном отрезке, значит сравнивать внутренние точки не требуется: минимум находится справа.

Поясняющая формула для этой задачи

f'(x)<0\;\Longrightarrow\;f(x)\searrow,\qquad x_{\text{ответ}}=3

После определения монотонности выбираем левый или правый конец отрезка в соответствии с вопросом.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи

Схема к задаче C97E7E: функция убывает, поэтому минимум достигается при x = 3.

Шаг 1. Определим знак производной

На отрезке [−2; 3] весь график производной $y$ = $f$ ′( $x$ ) расположен ниже оси Ox, то есть $f$ ′( $x$ ) < 0.

Шаг 2. Установим монотонность функции

Из неравенства $f$ ′( $x$ ) < 0 следует, что функция $f$ ( $x$ ) убывает на всём отрезке [−2; 3].

Шаг 3. Выберем нужный конец отрезка

У убывающей функции каждое следующее значение меньше предыдущего, поэтому наименьшее значение достигается на правом конце отрезка.

Шаг 4. Запишем абсциссу

Правый конец имеет абсциссу $x$ = 3.

Ответ:

3

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Если $f$ ′( $x$ ) < 0 на всём отрезке [ $a$ ; $b$ ], то функция $f$ ( $x$ ) убывает на [ $a$ ; $b$ ].
Убывающая функция принимает наибольшее значение в левом конце и наименьшее — в правом.
В ответе требуется абсцисса точки минимума, а не само значение $f$ (3).

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Искать минимум самого графика $f$ ′( $x$ ), хотя спрашивается минимум функции $f$ ( $x$ ).
Выбрать $x$ = −2, перепутав свойства возрастающей и убывающей функции.
Пытаться найти $f$ (3) по рисунку производной: её численное значение не требуется.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Проверьте положение $f$ ′( $x$ ) относительно оси Ox на всём [−2; 3].
2Запишите вывод: $f$ ′( $x$ ) < 0 ⇒ $f$ ( $x$ ) убывает.
3Для минимума убывающей функции выберите правый конец $x$ = 3.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №9

Все задания линии №9 →

Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x₁, x₂…FIPI ID 71BC43 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID D13540 Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 3, 4. В…FIPI ID F1BDF1 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID A558FE Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено восемь точек: x₁, x₂…FIPI ID 28FA05 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID 57C40E

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

На рисунке изображён график y = f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (−9; 4). В какой точке отрезка [−2; 3] функция f(x) принимает наименьшее значение?