Задание 41 из 125Производная и её применение

Линия №9 · Базовый уровень

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ), определённой на интервале (−5; 5). Найдите точку максимума функции $f$ ( $x$ ).

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер FC5C6D — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: FC5C6D

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 2

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Единственный нужный переход происходит при $x$ = 2. Нуль производной вместе со сменой положительного знака на отрицательный точно указывает на максимум исходной функции.

Ключевая идея: проверить переход

f

′(

x

) через ноль с «+» на «−» при

x

= 2.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ), определённой на интервале (−5; 5).

Нужно найти: точку максимума функции $f$ ( $x$ ).

План решения: Единственный нужный переход происходит при $x$ = 2. Нуль производной вместе со сменой положительного знака на отрицательный точно указывает на максимум исходной функции.

Поясняющая формула для этой задачи

f'(x_*)=0,\qquad f':+\to-,\qquad x_*=2

Смена знака производной с плюса на минус означает переход функции от возрастания к убыванию.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи

Схема к задаче FC5C6D: при x = 2 производная меняет знак с плюса на минус.

Шаг 1. Вспомним признак экстремума

Точка максимума функции $f$ ( $x$ ) определяется сменой знака производной с «+» на «−».

Шаг 2. Найдём нуль производной

По графику $y$ = $f$ ′( $x$ ) видно, что при $x$ = 2 производная равна нулю: график пересекает ось Ox.

Шаг 3. Проверим знаки слева и справа

Слева от $x$ = 2 график производной выше оси, а справа ниже: $f$ ′( $x$ ) меняет знак «+» → «−». Поэтому $f$ ( $x$ ) сначала возрастает, затем убывает.

Шаг 4. Запишем абсциссу точки

Точка максимума имеет абсциссу $x$ = 2.

Ответ:

2

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Максимум возникает при переходе функции от возрастания к убыванию.
На языке производной это смена знака $f$ ′( $x$ ): «+» → «−».
Нуль производной без смены знака не гарантирует экстремум.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Выбрать вершину графика $f$ ′( $x$ ) около $x$ = −2 вместо его пересечения с Ox.
Записать значение ординаты графика производной вместо абсциссы точки максимума.
Не проверить знак производной справа от $x$ = 2.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Найдите нуль $f$ ′( $x$ ) на рисунке.
2Проверьте знаки: до точки «+», после точки «−».
3Считайте абсциссу пересечения: 2.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №9

Все задания линии №9 →

Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x₁, x₂…FIPI ID 71BC43 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID D13540 Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 3, 4. В…FIPI ID F1BDF1 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID A558FE Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено восемь точек: x₁, x₂…FIPI ID 28FA05 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID 57C40E

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

На рисунке изображён график y = f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (−5; 5). Найдите точку максимума функции f(x).