Задание 103 из 125Экстремумы функций

Линия №9 · Повышенный уровень

Найдите точку максимума функции $y = 9 \cdot ln (x - 4) - 9 x - 7$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: ACB0C6

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 5

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно найти абсциссу точки максимума для функции $y$ = 9ln( $x$ − 4) − 9x − 7. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная меняет знак с плюса на минус.

Ключевая идея: Для функции

y

= 9ln(

x

− 4) − 9x − 7: для данной функции получаем

y

′ =

\frac{9}{x - 4}

− 9 =

\frac{9 ( 5 - x )}{x - 4}

. Критическая точка:

x

= 5. Для максимума производная должна сменить знак с плюса на минус; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Последовательно исследуем данную функцию: учитываем область определения, вычисляем производную, определяем её знак и записываем именно ту величину, которая требуется в условии.

Дано:

Функция: $y = 9ln(x - 4) - 9x - 7$ .

Нужно найти: точку максимума функции.

План решения: Нужно найти абсциссу точки максимума для функции $y$ = 9ln( $x$ − 4) − 9x − 7. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная меняет знак с плюса на минус.

Главная формула для этой задачи

y' = \frac{9}{x - 4} - 9 = \frac{9(5 - x)}{x - 4}

Для максимума производная должна сменить знак с плюса на минус; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Шаг 1. Определим область допустимых значений

ОДЗ: $x$ > 4.

Шаг 2. Вычислим производную

Найдём производную: $y$ ′ = $\frac{9}{x - 4}$ − 9 = $\frac{9 ( 5 - x )}{x - 4}$ .

Шаг 3. Найдём критические точки

Критическая точка: $x$ = 5.

Шаг 4. Проверим смену знака производной

Производная меняет знак с плюса на минус.

Шаг 5. Запишем абсциссу

Точка максимума: $x$ = 5.

Ответ:

5

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для функции $y$ = 9ln( $x$ − 4) − 9x − 7 применяем следующее правило: логарифм определён только при положительном аргументе; производная ln $u$ равна $u$ ′/ $u$ .
Для данной функции получаем $y$ ′ = $\frac{9}{x - 4}$ − 9 = $\frac{9 ( 5 - x )}{x - 4}$ .
Для максимума производная должна сменить знак с плюса на минус; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

При работе именно с $y$ = 9ln( $x$ − 4) − 9x − 7: не учесть одз логарифма или забыть производную его аргумента, из-за чего появляются недопустимые критические точки.
Остановиться после нахождения критических точек и не проверить знак производной: здесь необходимо использовать вывод «Производная меняет знак с плюса на минус».
Вычислить значение функции в найденной точке и записать его вместо абсциссы; в этой задаче ответом является $x$ = 5.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для $y$ = 9ln( $x$ − 4) − 9x − 7 проверьте допустимые значения: ОДЗ: $x$ > 4.
2Сверьте производную и ключевые точки: $y$ ′ = $\frac{9}{x - 4}$ − 9 = $\frac{9 ( 5 - x )}{x - 4}$ ; критическая точка: $x$ = 5.
3Проверьте заключительный переход: Точка максимума: $x$ = 5; формат ответа — 5.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите точку максимума функцииy=9⋅ln(x−4)−9x−7.