Задание 11 из 125Производная и её применение

Линия №9 · Базовый уровень

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ), определённой на интервале (−4; 8). В какой точке отрезка [−2; 3] функция $f$ ( $x$ ) принимает наибольшее значение?

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер B537B2 — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: B537B2

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 3

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

График $y$ = $f$ ′( $x$ ) используется как таблица знаков производной. Поскольку на заданном отрезке производная положительна, исходная функция всё время возрастает и максимум находится справа.

Ключевая идея:

f

′(

x

) > 0 на [−2; 3], значит максимум

f

(

x

) достигается при

x

= 3.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ), определённой на интервале (−4; 8).

Нужно найти: в какой точке отрезка [−2; 3] функция $f$ ( $x$ ) принимает наибольшее значение.

План решения: График $y$ = $f$ ′( $x$ ) используется как таблица знаков производной. Поскольку на заданном отрезке производная положительна, исходная функция всё время возрастает и максимум находится справа.

Поясняющая формула для этой задачи

f'(x)>0\;\Longrightarrow\;f(x)\nearrow,\qquad x_{\text{ответ}}=3

После определения монотонности выбираем левый или правый конец отрезка в соответствии с вопросом.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи

Схема к задаче B537B2: функция возрастает, поэтому максимум достигается при x = 3.

Шаг 1. Определим знак производной

Рассматриваем график производной над отрезком [−2; 3]. На всём этом отрезке он расположен выше оси Ox, поэтому $f$ ′( $x$ ) > 0.

Шаг 2. Установим монотонность функции

Положительная производная означает, что функция $f$ ( $x$ ) возрастает на [−2; 3].

Шаг 3. Выберем нужный конец отрезка

У возрастающей функции наибольшее значение на отрезке достигается в правом конце.

Шаг 4. Запишем абсциссу

Правый конец отрезка — точка $x$ = 3.

Ответ:

3

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Если $f$ ′( $x$ ) > 0 на [ $a$ ; $b$ ], то функция $f$ ( $x$ ) возрастает на этом отрезке.
Возрастающая функция принимает минимум в левом конце и максимум в правом.
График производной не показывает численные значения функции $f$ ( $x$ ).

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Выбирать самую высокую точку графика $f$ ′( $x$ ) вместо конца отрезка для функции $f$ ( $x$ ).
Выбрать $x$ = −2, перепутав максимум возрастающей функции с её минимумом.
Рассматривать часть графика правее $x$ = 3, которая не относится к заданному отрезку.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Ограничьте график вертикалями $x$ = −2 и $x$ = 3.
2Проверьте: на всём этом участке $f$ ′( $x$ ) > 0.
3Выберите правый конец возрастающего отрезка: $x$ = 3.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №9

Все задания линии №9 →

Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x₁, x₂…FIPI ID 71BC43 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID D13540 Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 3, 4. В…FIPI ID F1BDF1 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID A558FE Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено восемь точек: x₁, x₂…FIPI ID 28FA05 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID 57C40E

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

На рисунке изображён график y = f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (−4; 8). В какой точке отрезка [−2; 3] функция f(x) принимает наибольшее значение?