Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
↪ВойтиЧерез VK ID
Меню
Задание 2 из 125Производная и её применение
Линия №9 · Базовый уровень

На рисунке изображены график функции = () и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции () в точке .

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер D13540
Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: D13540

Показать ответ

Ответ: -0,4

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Значение производной считывается не с кривой = (), а с проведённой касательной. Достаточно выбрать на касательной две удобные узловые точки сетки и разделить вертикальное изменение на горизонтальное.

Ключевая идея: найти наклон касательной по формуле ′() = = .
Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображены график функции = () и касательная к нему в точке с абсциссой .

Нужно найти: значение производной функции () в точке .

План решения: Значение производной считывается не с кривой = (), а с проведённой касательной. Достаточно выбрать на касательной две удобные узловые точки сетки и разделить вертикальное изменение на горизонтальное.

Поясняющая формула для этой задачи

f′(x0)=k=ΔyΔx=−25=−0,4f'(x_0)=k=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{-2}{5}=-0{,}4

Производная равна угловому коэффициенту касательной; вертикальное изменение делим на горизонтальное.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи
Схема к задаче D13540: Δx = 5, Δy = −2, поэтому f′(x₀) = −0,4.Треугольник наклона касательнойΔx = 5Δy = −2f′(x₀) = Δy / Δx = −0,4
Схема к задаче D13540: Δx = 5, Δy = −2, поэтому f′(x₀) = −0,4.

Шаг 1. Вспомним геометрический смысл производной

Производная в точке касания равна угловому коэффициенту касательной: ′() = .

Шаг 2. Считаем приращения по сетке

Берём на прямой две точки, лежащие в узлах сетки. При движении от левой точки к правой абсцисса увеличивается на 5 клеток, поэтому Δ = 5; ордината уменьшается на 2 клетки, поэтому Δ = −2.

Шаг 3. Вычислим угловой коэффициент

Подставляем приращения в формулу наклона: = = = −0,4.

Шаг 4. Запишем значение производной

Следовательно, ′() = −0,4.

Ответ:−0,4-0{,}4
Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач
  • Геометрический смысл производной: ′() равна угловому коэффициенту касательной к графику в точке .
  • Для двух точек касательной = = .
  • Если прямая понижается слева направо, то Δ < 0 и производная отрицательна.
Открыть теорию по математике →
Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом
  • Взять две точки на кривой = (), а не на прямой касательной.
  • Записать Δ = 2 и потерять минус: касательная опускается при движении вправо.
  • Перевернуть дробь и вычислить Δ/Δ вместо Δ/Δ.
Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом
  1. 1Выберите две узловые точки именно на касательной.
  2. 2Проверьте приращения: вправо 5 клеток, вниз 2 клетки.
  3. 3Убедитесь, что результат отрицательный и равен − = −0,4.
Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №9
Все задания линии №9 →
Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x₁, x₂…FIPI ID 71BC43Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 3, 4. В…FIPI ID F1BDF1Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀​…FIPI ID A558FEПроизводная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено восемь точек: x₁, x₂…FIPI ID 28FA05Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀​…FIPI ID 57C40EПроизводная и её применениеНа рисунке изображён график y = f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале…FIPI ID 0ED279
Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ
Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачуБанк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭКонструктор вариантаСобрать тренировочный вариантПробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена