Задание 83 из 125Экстремумы функций

Линия №9 · Повышенный уровень

Найдите точку минимума функции $y = 2 x^{2} - 23 x + 33 \cdot ln x - 17$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 81F510

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 3

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно найти абсциссу точки минимума для функции $y$ = 2x $^{2}$ − 23x + 33ln $x$ − 17. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: в $x$ = 3 производная меняет знак с минуса на плюс.

Ключевая идея: Для функции

y

= 2x

^{2}

− 23x + 33ln

x

− 17: для данной функции получаем

y

′ = 4x − 23 +

\frac{33}{x}

\frac{( 4 x - 11 ) ( x - 3 )}{x}

. Критические точки:

x

\frac{11}{4}

x

= 3. Для минимума производная должна сменить знак с минуса на плюс; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Последовательно исследуем данную функцию: учитываем область определения, вычисляем производную, определяем её знак и записываем именно ту величину, которая требуется в условии.

Дано:

Функция: $y = 2x^{2} - 23x + 33ln x - 17$ .

Нужно найти: точку минимума функции.

План решения: Нужно найти абсциссу точки минимума для функции $y$ = 2x $^{2}$ − 23x + 33ln $x$ − 17. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: в $x$ = 3 производная меняет знак с минуса на плюс.

Главная формула для этой задачи

y' = 4x - 23 + \frac{33}{x} = \frac{(4x - 11)(x - 3)}{x}

Для минимума производная должна сменить знак с минуса на плюс; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Шаг 1. Определим область допустимых значений

ОДЗ: $x$ > 0.

Шаг 2. Вычислим производную

Найдём производную: $y$ ′ = 4x − 23 + $\frac{33}{x}$ = $\frac{( 4 x - 11 ) ( x - 3 )}{x}$ .

Шаг 3. Найдём критические точки

Критические точки: $x$ = $\frac{11}{4}$ и $x$ = 3.

Шаг 4. Проверим смену знака производной

В $x$ = 3 производная меняет знак с минуса на плюс.

Шаг 5. Запишем абсциссу

Точка минимума: $x$ = 3.

Ответ:

3

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для функции $y$ = 2x $^{2}$ − 23x + 33ln $x$ − 17 применяем следующее правило: логарифм определён только при положительном аргументе; производная ln $u$ равна $u$ ′/ $u$ .
Для данной функции получаем $y$ ′ = 4x − 23 + $\frac{33}{x}$ = $\frac{( 4 x - 11 ) ( x - 3 )}{x}$ .
Для минимума производная должна сменить знак с минуса на плюс; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

При работе именно с $y$ = 2x $^{2}$ − 23x + 33ln $x$ − 17: не учесть одз логарифма или забыть производную его аргумента, из-за чего появляются недопустимые критические точки.
Остановиться после нахождения критических точек и не проверить знак производной: здесь необходимо использовать вывод «В $x$ = 3 производная меняет знак с минуса на плюс».
Вычислить значение функции в найденной точке и записать его вместо абсциссы; в этой задаче ответом является $x$ = 3.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для $y$ = 2x $^{2}$ − 23x + 33ln $x$ − 17 проверьте допустимые значения: ОДЗ: $x$ > 0.
2Сверьте производную и ключевые точки: $y$ ′ = 4x − 23 + $\frac{33}{x}$ = $\frac{( 4 x - 11 ) ( x - 3 )}{x}$ ; критические точки: $x$ = $\frac{11}{4}$ и $x$ = 3.
3Проверьте заключительный переход: Точка минимума: $x$ = 3; формат ответа — 3.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите точку минимума функцииy=2x2−23x+33⋅lnx−17.