Задание 61 из 125Экстремумы функций

Линия №9 · Повышенный уровень

Найдите наибольшее значение функции $y = ln ((x + 9)^{5}) - 5 x$ на отрезке $[- 8, 5; 0]$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: DF0B44

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 40

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно найти наибольшее значение функции на отрезке для функции $y$ = ln(( $x$ + 9) $^{5}$ ) − 5x на отрезке [−8,5; 0]. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная меняет знак с плюса на минус, поэтому в $x$ = −8 достигается максимум на отрезке.

Ключевая идея: Для функции

y

= ln((

x

+ 9)

^{5}

) − 5x: для данной функции получаем

y

′ =

\frac{5}{x + 9}

− 5 =

\frac{- 5 ( x + 8 )}{x + 9}

. Единственная внутренняя критическая точка:

x

= −8. После определения точки максимума или нужного конца отрезка необходимо подставить найденную абсциссу в исходную функцию и записать значение

y

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Последовательно исследуем данную функцию: учитываем область определения, вычисляем производную, определяем её знак и записываем именно ту величину, которая требуется в условии.

Дано:

Функция: $y = \ln((x + 9)^{5}) - 5x$ .

Отрезок: $[-8{,}5\mathbin{;} 0]$ .

Нужно найти: наибольшее значение функции.

План решения: Нужно найти наибольшее значение функции на отрезке для функции $y$ = ln(( $x$ + 9) $^{5}$ ) − 5x на отрезке [−8,5; 0]. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная меняет знак с плюса на минус, поэтому в $x$ = −8 достигается максимум на отрезке.

Главная формула для этой задачи

y' = \frac{5}{x + 9} - 5 = \frac{-5(x + 8)}{x + 9}

После определения точки максимума или нужного конца отрезка необходимо подставить найденную абсциссу в исходную функцию и записать значение y.

Шаг 1. Учтём отрезок и область определения

На данном отрезке $x$ + 9 > 0, поэтому ln(( $x$ + 9) $^{5}$ ) = 5ln( $x$ + 9).

Шаг 2. Вычислим производную

Найдём производную: $y$ ′ = $\frac{5}{x + 9}$ − 5 = $\frac{- 5 ( x + 8 )}{x + 9}$ .

Шаг 3. Найдём критические точки

Единственная внутренняя критическая точка: $x$ = −8.

Шаг 4. Определим положение искомого значения

Производная меняет знак с плюса на минус, поэтому в $x$ = −8 достигается максимум на отрезке.

Шаг 5. Вычислим значение функции

$y$ (−8) = 5ln 1 + 40 = 40.

Ответ:

40

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для функции $y$ = ln(( $x$ + 9) $^{5}$ ) − 5x применяем следующее правило: логарифм определён только при положительном аргументе; производная ln $u$ равна $u$ ′/ $u$ .
Для данной функции получаем $y$ ′ = $\frac{5}{x + 9}$ − 5 = $\frac{- 5 ( x + 8 )}{x + 9}$ .
После определения точки максимума или нужного конца отрезка необходимо подставить найденную абсциссу в исходную функцию и записать значение $y$ .

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

При работе именно с $y$ = ln(( $x$ + 9) $^{5}$ ) − 5x: не учесть одз логарифма или забыть производную его аргумента, из-за чего появляются недопустимые критические точки.
Остановиться после нахождения критических точек и не проверить знак производной: здесь необходимо использовать вывод «Производная меняет знак с плюса на минус, поэтому в $x$ = −8 достигается максимум на отрезке».
Остановиться на найденной абсциссе и записать её вместо значения функции; после подстановки должен получиться ответ 40.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для $y$ = ln(( $x$ + 9) $^{5}$ ) − 5x проверьте допустимые значения: На данном отрезке $x$ + 9 > 0, поэтому ln(( $x$ + 9) $^{5}$ ) = 5ln( $x$ + 9).
2Сверьте производную и ключевые точки: $y$ ′ = $\frac{5}{x + 9}$ − 5 = $\frac{- 5 ( x + 8 )}{x + 9}$ ; единственная внутренняя критическая точка: $x$ = −8.
3Проверьте заключительный переход: $y$ (−8) = 5ln 1 + 40 = 40; формат ответа — 40.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите наибольшее значение функцииy=ln((x+9)5)−5xна отрезке [−8,5;0].