Задание 50 из 125Производная и её применение

Линия №9 · Базовый уровень

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ), определённой на интервале (−12; 11). Найдите количество точек максимума функции $f$ ( $x$ ), принадлежащих отрезку [−11; 5].

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер D65930 — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: D65930

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 4

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Максимум исходной функции — это переход от возрастания к убыванию. На графике производной ищутся не её вершины, а пересечения с Ox в направлении из положительной области в отрицательную.

Ключевая идея: посчитать четыре перехода «+» → «−» графика

f

′(

x

) на [−11; 5].

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ), определённой на интервале (−12; 11).

Нужно найти: количество точек максимума функции $f$ ( $x$ ), принадлежащих отрезку [−11; 5].

План решения: Максимум исходной функции — это переход от возрастания к убыванию. На графике производной ищутся не её вершины, а пересечения с Ox в направлении из положительной области в отрицательную.

Поясняющая формула для этой задачи

f'(x)=0,\qquad f':+\to-,\qquad N=4

Для максимума учитываем только указанное направление смены знака.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи

Схема к задаче D65930: на отрезке [−11; 5] отмечено 4 нужных смен знака.

Шаг 1. Вспомним признак нужного экстремума

Точка максимума функции $f$ ( $x$ ) возникает при смене знака производной с «+» на «−».

Шаг 2. Ограничим график заданным отрезком

Рассматриваем график $y$ = $f$ ′( $x$ ) только над отрезком [−11; 5] и отмечаем все пересечения с осью Ox.

Шаг 3. Проверим смены знака

Четыре раза график проходит через Ox сверху вниз: слева от каждого нуля $f$ ′( $x$ ) > 0, справа $f$ ′( $x$ ) < 0. Именно эти переходы соответствуют максимумам.

Шаг 4. Посчитаем подходящие переходы

Следовательно, на отрезке [−11; 5] функция $f$ ( $x$ ) имеет 4 точки максимума.

Ответ:

4

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Перед точкой максимума $f$ ′( $x$ ) > 0, после неё $f$ ′( $x$ ) < 0.
Переходы «−» → «+» дают минимумы и не считаются.
Точки за пределами заданного отрезка не входят в ответ.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Посчитать все нули производной без проверки направления перехода.
Считать локальные вершины графика $y$ = $f$ ′( $x$ ).
Учесть пересечение правее $x$ = 5.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Ограничьте рисунок отрезком [−11; 5].
2Для каждого нуля запишите знаки слева и справа.
3Оставьте четыре перехода «+» → «−».

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №9

Все задания линии №9 →

Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x₁, x₂…FIPI ID 71BC43 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID D13540 Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 3, 4. В…FIPI ID F1BDF1 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID A558FE Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено восемь точек: x₁, x₂…FIPI ID 28FA05 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID 57C40E

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена