Задание 22 из 125Производная и её применение

Линия №9 · Базовый уровень

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ), определённой на интервале (−20; 4). Найдите количество точек экстремума функции $f$ ( $x$ ), принадлежащих отрезку [−16; 1].

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер 891127 — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 891127

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 5

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Вершины графика производной не являются экстремумами исходной функции. Экстремум $f$ ( $x$ ) появляется именно при смене знака $f$ ′( $x$ ), поэтому считаются переходы графика производной через нулевую линию.

Ключевая идея: посчитать пять смен знака

f

′(

x

) на отрезке [−16; 1].

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ), определённой на интервале (−20; 4).

Нужно найти: количество точек экстремума функции $f$ ( $x$ ), принадлежащих отрезку [−16; 1].

План решения: Вершины графика производной не являются экстремумами исходной функции. Экстремум $f$ ( $x$ ) появляется именно при смене знака $f$ ′( $x$ ), поэтому считаются переходы графика производной через нулевую линию.

Поясняющая формула для этой задачи

f'(x)=0,\qquad f':+\leftrightarrow-,\qquad N=5

Для любого экстремума нужна смена знака производной.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи

Схема к задаче 891127: на отрезке [−16; 1] отмечено 5 нужных смен знака.

Шаг 1. Вспомним признак нужного экстремума

Точки экстремума функции $f$ ( $x$ ) соответствуют тем нулям производной, в которых $f$ ′( $x$ ) меняет знак.

Шаг 2. Ограничим график заданным отрезком

Ограничиваем график производной отрезком [−16; 1] и рассматриваем только пересечения с осью Ox внутри этих границ.

Шаг 3. Проверим смены знака

Слева направо график пять раз переходит через ось Ox с одной стороны на другую. Каждый переход меняет возрастание функции на убывание или наоборот.

Шаг 4. Посчитаем подходящие переходы

Поэтому на отрезке [−16; 1] функция $f$ ( $x$ ) имеет 5 точек экстремума.

Ответ:

5

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Смена знака $f$ ′( $x$ ) с «+» на «−» даёт максимум $f$ ( $x$ ), а с «−» на «+» — минимум.
В задаче на количество экстремумов учитываются оба направления смены знака.
Границы отрезка ограничивают число учитываемых пересечений.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Посчитать локальные вершины кривой $y$ = $f$ ′( $x$ ).
Учесть пересечения левее −16 или правее 1.
Считать нуль производной без проверки, переходит ли график на другую сторону Ox.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Отметьте на оси границы −16 и 1.
2Проверьте знак производной по обе стороны каждого нуля внутри отрезка.
3Пересчитайте переходы через Ox: 5.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №9

Все задания линии №9 →

Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x₁, x₂…FIPI ID 71BC43 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID D13540 Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 3, 4. В…FIPI ID F1BDF1 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID A558FE Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено восемь точек: x₁, x₂…FIPI ID 28FA05 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID 57C40E

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена