Задание 23 из 161Производная и её применение

Линия №9

На рисунке изображён график функции $y$ = $f$ ( $x$ ), определённой на интервале (−10; 3). Найдите количество корней уравнения $f$ ′( $x$ )=0, принадлежащих отрезку [−7; 2].

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер BE1DDB — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: BE1DDB

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 5

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Здесь дан график самой функции. Нули производной ищутся не как пересечения графика с осью Ox, а как точки с нулевым наклоном — места горизонтальной касательной.

Ключевая идея: посчитать на [−7; 2] все точки графика с горизонтальной касательной.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображён график функции $y$ = $f$ ( $x$ ), определённой на интервале (−10; 3).

Нужно найти: количество корней уравнения $f$ ′( $x$ )=0, принадлежащих отрезку [−7; 2].

План решения: Здесь дан график самой функции. Нули производной ищутся не как пересечения графика с осью Ox, а как точки с нулевым наклоном — места горизонтальной касательной.

Поясняющая формула для этой задачи

f'(x)=0\;\Longleftrightarrow\;k_{\text{касательной}}=0

Нулевой угловой коэффициент означает, что касательная к графику функции горизонтальна.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи

Схема к задаче BE1DDB: показаны горизонтальные касательные, соответствующие условию f′(x) = 0.

Шаг 1. Переведём уравнение в геометрическое условие

Уравнение $f$ ′( $x$ ) = 0 выполняется в точках, где касательная к графику $y$ = $f$ ( $x$ ) горизонтальна.

Шаг 2. Ограничим нужную часть графика

Рассматриваем только часть графика над отрезком [−7; 2]. На ней последовательно видны вершины и впадины, в которых направление движения меняется, а касательная параллельна оси Ox.

Шаг 3. Найдём горизонтальные касательные

Таких стационарных точек на заданном отрезке пять: в каждой из них наклон графика на мгновение равен нулю.

Шаг 4. Запишем число корней

Следовательно, уравнение $f$ ′( $x$ ) = 0 имеет 5 корней на [−7; 2].

Ответ:

5

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Равенство $f$ ′( $x$ ) = 0 означает, что угловой коэффициент касательной равен нулю.
Горизонтальная касательная обычно встречается в гладких локальных максимумах и минимумах.
Корни уравнения $f$ ′( $x$ ) = 0 — это абсциссы точек, а не пересечения $f$ ( $x$ ) с осью Ox.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Посчитать корни уравнения $f$ ( $x$ ) = 0 вместо $f$ ′( $x$ ) = 0.
Учесть экстремум за пределами отрезка [−7; 2].
Посчитать только максимумы или только минимумы, хотя горизонтальная касательная есть в обоих типах точек.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1
Ограничьте рисунок вертикалями $x$ = −7 и $x$ = 2.
2
Найдите все места, где график на мгновение становится горизонтальным.
3
Пересчитайте найденные горизонтальные касательные: их 5.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №9

Все задания линии №9 →

Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x₁, x₂…FIPI ID 71BC43 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID D13540 Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 3, 4. В…FIPI ID F1BDF1 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID A558FE Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено восемь точек: x₁, x₂…FIPI ID 28FA05 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID 57C40E

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−10; 3). Найдите количество корней уравнения f′(x)=0, принадлежащих отрезку [−7; 2].