Задание 88 из 125Экстремумы функций

Линия №9 · Повышенный уровень

Найдите точку максимума функции $y = 0, 5 x^{2} - 21 x + 110 \cdot ln x + 43$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 688D26

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 10

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно найти абсциссу точки максимума для функции $y$ = 0,5x $^{2}$ − 21x + 110ln $x$ + 43. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: в $x$ = 10 производная меняет знак с плюса на минус.

Ключевая идея: Для функции

y

= 0,5x

^{2}

− 21x + 110ln

x

+ 43: для данной функции получаем

y

′ =

x

− 21 +

\frac{110}{x}

\frac{( x - 10 ) ( x - 11 )}{x}

. Критические точки:

x

= 10 и

x

= 11. Для максимума производная должна сменить знак с плюса на минус; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Последовательно исследуем данную функцию: учитываем область определения, вычисляем производную, определяем её знак и записываем именно ту величину, которая требуется в условии.

Дано:

Функция: $y = 0{,}5x^{2} - 21x + 110ln x + 43$ .

Нужно найти: точку максимума функции.

План решения: Нужно найти абсциссу точки максимума для функции $y$ = 0,5x $^{2}$ − 21x + 110ln $x$ + 43. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: в $x$ = 10 производная меняет знак с плюса на минус.

Главная формула для этой задачи

y' = x - 21 + \frac{110}{x} = \frac{(x - 10)(x - 11)}{x}

Для максимума производная должна сменить знак с плюса на минус; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Шаг 1. Определим область допустимых значений

ОДЗ: $x$ > 0.

Шаг 2. Вычислим производную

Найдём производную: $y$ ′ = $x$ − 21 + $\frac{110}{x}$ = $\frac{( x - 10 ) ( x - 11 )}{x}$ .

Шаг 3. Найдём критические точки

Критические точки: $x$ = 10 и $x$ = 11.

Шаг 4. Проверим смену знака производной

В $x$ = 10 производная меняет знак с плюса на минус.

Шаг 5. Запишем абсциссу

Точка максимума: $x$ = 10.

Ответ:

10

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для функции $y$ = 0,5x $^{2}$ − 21x + 110ln $x$ + 43 применяем следующее правило: логарифм определён только при положительном аргументе; производная ln $u$ равна $u$ ′/ $u$ .
Для данной функции получаем $y$ ′ = $x$ − 21 + $\frac{110}{x}$ = $\frac{( x - 10 ) ( x - 11 )}{x}$ .
Для максимума производная должна сменить знак с плюса на минус; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

При работе именно с $y$ = 0,5x $^{2}$ − 21x + 110ln $x$ + 43: не учесть одз логарифма или забыть производную его аргумента, из-за чего появляются недопустимые критические точки.
Остановиться после нахождения критических точек и не проверить знак производной: здесь необходимо использовать вывод «В $x$ = 10 производная меняет знак с плюса на минус».
Вычислить значение функции в найденной точке и записать его вместо абсциссы; в этой задаче ответом является $x$ = 10.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для $y$ = 0,5x $^{2}$ − 21x + 110ln $x$ + 43 проверьте допустимые значения: ОДЗ: $x$ > 0.
2Сверьте производную и ключевые точки: $y$ ′ = $x$ − 21 + $\frac{110}{x}$ = $\frac{( x - 10 ) ( x - 11 )}{x}$ ; критические точки: $x$ = 10 и $x$ = 11.
3Проверьте заключительный переход: Точка максимума: $x$ = 10; формат ответа — 10.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите точку максимума функцииy=0,5x2−21x+110⋅lnx+43.