Задание 84 из 125Экстремумы функций

Линия №9 · Повышенный уровень

Найдите точку минимума функции $y = x^{2} - 20 x + 48 l n x - 97$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 425124

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 6

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно найти абсциссу точки минимума для функции $y$ = $x$ $^{2}$ − 20x + 48ln $x$ − 97. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: в $x$ = 6 производная меняет знак с минуса на плюс.

Ключевая идея: Для функции

y

x

^{2}

− 20x + 48ln

x

− 97: для данной функции получаем

y

′ = 2x − 20 +

\frac{48}{x}

\frac{2 ( x - 4 ) ( x - 6 )}{x}

. Критические точки:

x

= 4 и

x

= 6. Для минимума производная должна сменить знак с минуса на плюс; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Последовательно исследуем данную функцию: учитываем область определения, вычисляем производную, определяем её знак и записываем именно ту величину, которая требуется в условии.

Дано:

Функция: $y = x^{2} - 20x + 48ln x - 97$ .

Нужно найти: точку минимума функции.

План решения: Нужно найти абсциссу точки минимума для функции $y$ = $x$ $^{2}$ − 20x + 48ln $x$ − 97. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: в $x$ = 6 производная меняет знак с минуса на плюс.

Главная формула для этой задачи

y' = 2x - 20 + \frac{48}{x} = \frac{2(x - 4)(x - 6)}{x}

Для минимума производная должна сменить знак с минуса на плюс; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Шаг 1. Определим область допустимых значений

ОДЗ: $x$ > 0.

Шаг 2. Вычислим производную

Найдём производную: $y$ ′ = 2x − 20 + $\frac{48}{x}$ = $\frac{2 ( x - 4 ) ( x - 6 )}{x}$ .

Шаг 3. Найдём критические точки

Критические точки: $x$ = 4 и $x$ = 6.

Шаг 4. Проверим смену знака производной

В $x$ = 6 производная меняет знак с минуса на плюс.

Шаг 5. Запишем абсциссу

Точка минимума: $x$ = 6.

Ответ:

6

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для функции $y$ = $x$ $^{2}$ − 20x + 48ln $x$ − 97 применяем следующее правило: логарифм определён только при положительном аргументе; производная ln $u$ равна $u$ ′/ $u$ .
Для данной функции получаем $y$ ′ = 2x − 20 + $\frac{48}{x}$ = $\frac{2 ( x - 4 ) ( x - 6 )}{x}$ .
Для минимума производная должна сменить знак с минуса на плюс; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

При работе именно с $y$ = $x$ $^{2}$ − 20x + 48ln $x$ − 97: не учесть одз логарифма или забыть производную его аргумента, из-за чего появляются недопустимые критические точки.
Остановиться после нахождения критических точек и не проверить знак производной: здесь необходимо использовать вывод «В $x$ = 6 производная меняет знак с минуса на плюс».
Вычислить значение функции в найденной точке и записать его вместо абсциссы; в этой задаче ответом является $x$ = 6.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для $y$ = $x$ $^{2}$ − 20x + 48ln $x$ − 97 проверьте допустимые значения: ОДЗ: $x$ > 0.
2Сверьте производную и ключевые точки: $y$ ′ = 2x − 20 + $\frac{48}{x}$ = $\frac{2 ( x - 4 ) ( x - 6 )}{x}$ ; критические точки: $x$ = 4 и $x$ = 6.
3Проверьте заключительный переход: Точка минимума: $x$ = 6; формат ответа — 6.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите точку минимума функцииy=x2−20x+48lnx−97.