Задание 31 из 125Производная и её применение

Линия №9 · Базовый уровень

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечено десять точек: $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{7}$ , $x_{8}$ , $x_{9}$ , $x_{10}$ . Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции $f$ ( $x$ )?

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер 6796AE — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 6796AE

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 6

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно оценить знак ординаты графика производной над каждой отметкой. Шесть указанных точек лежат на трёх положительных фрагментах $f$ ′( $x$ ); каждая отмеченная точка считается отдельно.

Ключевая идея: выбрать

x_{2}

x_{3}

x_{5}

x_{6}

x_{9}

x_{10}

, где

f

′(

x

ᵢ) > 0.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечено десять точек: $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{7}$ , $x_{8}$ , $x_{9}$ , $x_{10}$ .

Нужно найти: сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции $f$ ( $x$ ).

План решения: Нужно оценить знак ординаты графика производной над каждой отметкой. Шесть указанных точек лежат на трёх положительных фрагментах $f$ ′( $x$ ); каждая отмеченная точка считается отдельно.

Поясняющая формула для этой задачи

f'(x_i)>0\;\Longleftrightarrow\;\text{график }f'\text{ выше }Ox

Проверяем условие отдельно в каждой отмеченной точке и считаем только подходящие точки.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи

Схема к задаче 6796AE: цветом отмечены x₂, x₃, x₅, x₆, x₉, x₁₀; всего 6.

Шаг 1. Свяжем знак производной с рисунком

Функция $f$ ( $x$ ) возрастает в отмеченной точке, если $f$ ′( $x$ ) > 0. На графике $y$ = $f$ ′( $x$ ) это означает положение выше оси Ox.

Шаг 2. Проверим отмеченные точки

Проверяем десять отмеченных абсцисс. Положительные значения производной получаем при $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{9}$ и $x_{10}$ .

Шаг 3. Исключим неподходящие точки

При $x_{1}$ , $x_{4}$ , $x_{7}$ и $x_{8}$ график производной расположен ниже оси, поэтому там $f$ ( $x$ ) убывает.

Шаг 4. Посчитаем выбранные точки

Промежуткам возрастания принадлежат 6 отмеченных точек.

Ответ:

6

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Условие возрастания исходной функции: $f$ ′( $x$ ) > 0.
Над осью Ox производная положительна, под осью — отрицательна.
Несколько отмеченных точек на одном положительном промежутке учитываются по отдельности.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Посчитать три положительных промежутка вместо шести отмеченных точек.
Включить $x_{4}$ или $x_{7}$ , ориентируясь на направление графика производной, а не на его знак.
Пропустить $x_{10}$ : в отмеченной точке график ещё выше Ox.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Сравните значение $f$ ′( $x$ ᵢ) с нулём в каждой из десяти точек.
2Запишите полный положительный набор: $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{9}$ , $x_{10}$ .
3Пересчитайте элементы набора: 6.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №9

Все задания линии №9 →

Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x₁, x₂…FIPI ID 71BC43 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID D13540 Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 3, 4. В…FIPI ID F1BDF1 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID A558FE Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено восемь точек: x₁, x₂…FIPI ID 28FA05 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID 57C40E

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена