Задание 47 из 125Производная и её применение
Линия №9 · Базовый уровень

На рисунке изображён график = ′() — производной функции (). На оси абсцисс отмечено девять точек: , , , , , , , , . Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции ()?

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер 984B6C
Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ · FIPI ID: 984B6C

Показать ответ

Ответ: 5

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Первые три подходящие точки лежат на левом отрицательном фрагменте производной, ещё две — и — на среднем отрицательном фрагменте. Положение самой кривой вверх или вниз значения не имеет.

Ключевая идея: посчитать , , , , , где график ′() ниже Ox.
Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображён график = ′() — производной функции (). На оси абсцисс отмечено девять точек: , , , , , , , , .

Нужно найти: сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции ().

План решения: Первые три подходящие точки лежат на левом отрицательном фрагменте производной, ещё две — и — на среднем отрицательном фрагменте. Положение самой кривой вверх или вниз значения не имеет.

Поясняющая формула для этой задачи

f(xi)<0    график f ниже Oxf'(x_i)<0\;\Longleftrightarrow\;\text{график }f'\text{ ниже }Ox

Проверяем условие отдельно в каждой отмеченной точке и считаем только подходящие точки.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи
Схема к задаче 984B6C: цветом отмечены x₁, x₂, x₃, x₆, x₇; всего 5.Проверяем точки: f′(x) ниже оси Oxx₁x₂x₃x₄x₅x₆x₇x₈x₉учитываем: x₁, x₂, x₃, x₆, x₇5
Схема к задаче 984B6C: цветом отмечены x₁, x₂, x₃, x₆, x₇; всего 5.

Шаг 1. Свяжем знак производной с рисунком

Функция () убывает в точках, где ′() < 0. На графике производной это участки ниже оси Ox.

Шаг 2. Проверим отмеченные точки

Проверяем девять отмеченных абсцисс. Отрицательные значения производной получаем при , , , и .

Шаг 3. Исключим неподходящие точки

При , , и график ′() выше оси Ox, поэтому там функция возрастает.

Шаг 4. Посчитаем выбранные точки

Промежуткам убывания принадлежат 5 отмеченных точек.

Ответ:55
Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач
  • Условие убывания: ′() < 0.
  • Отрицательные значения графика = ′() находятся ниже оси абсцисс.
  • Каждая отмеченная точка учитывается отдельно, даже если несколько точек лежат на одном промежутке.
Открыть теорию по математике →
Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом
  • Посчитать два отрицательных промежутка вместо пяти отмеченных точек.
  • Включить : в этой точке график уже выше оси.
  • Пропустить из-за близкого подъёма графика справа.
Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом
  1. 1Считайте знак ′(ᵢ) над каждой отметкой ᵢ.
  2. 2Запишите полный отрицательный набор: , , , , .
  3. 3Проверьте количество: 5.
Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №9
Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ