Задание 56 из 125Производная и её применение

Линия №9 · Базовый уровень

На рисунке изображён график функции $y$ = $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечено десять точек: $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{7}$ , $x_{8}$ , $x_{9}$ , $x_{10}$ . Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции $f$ ( $x$ ) положительна.

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер 875A8A — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 875A8A

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 5

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

На сложном волнистом графике удобно последовательно проверять каждую отметку. Пять точек расположены на восходящих ветвях: три подряд $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ и ещё две $x_{8}$ , $x_{10}$ .

Ключевая идея: собрать все точки на участках возрастания:

x_{4}

x_{5}

x_{6}

x_{8}

x_{10}

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображён график функции $y$ = $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечено десять точек: $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{7}$ , $x_{8}$ , $x_{9}$ , $x_{10}$ .

Нужно найти: количество отмеченных точек, в которых производная функции $f$ ( $x$ ) положительна.

План решения: На сложном волнистом графике удобно последовательно проверять каждую отметку. Пять точек расположены на восходящих ветвях: три подряд $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ и ещё две $x_{8}$ , $x_{10}$ .

Поясняющая формула для этой задачи

f'(x_i)>0\;\Longleftrightarrow\;f\text{ возрастает около }x_i

Проверяем условие отдельно в каждой отмеченной точке и считаем только подходящие точки.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи

Схема к задаче 875A8A: цветом отмечены x₄, x₅, x₆, x₈, x₁₀; всего 5.

Шаг 1. Свяжем знак производной с рисунком

Производная функции положительна там, где график $y$ = $f$ ( $x$ ) возрастает: $f$ ′( $x$ ) > 0.

Шаг 2. Проверим отмеченные точки

Проверяем десять отмеченных точек. График направлен вверх слева направо при $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{8}$ и $x_{10}$ .

Шаг 3. Исключим неподходящие точки

При $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{7}$ и $x_{9}$ график убывает, поэтому эти точки не подходят.

Шаг 4. Посчитаем выбранные точки

Искомое количество отмеченных точек равно 5.

Ответ:

5

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Если функция возрастает около $x$ ᵢ, то $f$ ′( $x$ ᵢ) > 0.
Каждая отмеченная точка считается отдельно, даже если несколько лежат на одном восходящем участке.
Положение графика относительно оси Ox не определяет знак производной.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Посчитать только число восходящих ветвей вместо числа отмеченных точек.
Пропустить $x_{4}$ или $x_{5}$ из-за того, что график в этих точках ниже оси.
Включить $x_{9}$ : около этой отметки график убывает к минимуму.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для каждой $x$ ᵢ определите локальное направление графика.
2Сверьте набор положительных производных: $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{8}$ , $x_{10}$ .
3Пересчитайте выбранные точки: 5.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №9

Все задания линии №9 →

Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x₁, x₂…FIPI ID 71BC43 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID D13540 Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 3, 4. В…FIPI ID F1BDF1 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID A558FE Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено восемь точек: x₁, x₂…FIPI ID 28FA05 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID 57C40E

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена