На рисунке изображён график функции $y$ = $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечены точки 1, 2, 3, 4. В какой из этих точек значение производной функции $f$ ( $x$ ) наименьшее? В ответе укажите эту точку.

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер A2E26B — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: A2E26B

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 2

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Сравнение выполняется по крутизне, а не по высоте графика. Именно при $x$ = 2 касательная направлена вниз наиболее резко; отрицательное значение производной там является наименьшим.

Ключевая идея: выбрать

x

= 2 как точку наиболее крутого убывания.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображён график функции $y$ = $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечены точки 1, 2, 3, 4.

Нужно найти: в какой из этих точек значение производной функции $f$ ( $x$ ) наименьшее? В ответе укажите эту точку.

План решения: Сравнение выполняется по крутизне, а не по высоте графика. Именно при $x$ = 2 касательная направлена вниз наиболее резко; отрицательное значение производной там является наименьшим.

Поясняющая формула для этой задачи

f'(x)=k_{\text{касательной}},\qquad \min f'(x)\;\Longleftrightarrow\;x=2

Сравниваем не высоты точек графика, а угловые коэффициенты касательных в указанных абсциссах.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи

Схема к задаче A2E26B: среди точек 1, 2, 3, 4 выделена точка 2 — самый крутой спуск.

Шаг 1. Переведём задачу на язык наклонов

Значение $f$ ′( $x$ ) задаётся наклоном касательной. Наименьшей производной соответствует самый крутой наклон графика вниз.

Шаг 2. Сравним указанные точки

Сравниваем точки $x$ = 1, 2, 3 и 4. При $x$ = 1 и $x$ = 4 график возрастает, поэтому производные положительны; около $x$ = 3 график имеет вершину и наклон близок к нулю.

Шаг 3. Выберем предельный наклон

При $x$ = 2 график резко убывает, поэтому $f$ ′(2) отрицательна и меньше значений производной в остальных указанных точках.

Шаг 4. Запишем нужную абсциссу

Искомая точка: $x$ = 2.

Ответ:

2

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Производная равна угловому коэффициенту касательной.
Отрицательный наклон даёт значение меньше нуля и меньше любого положительного наклона.
В локальной вершине гладкого графика производная равна нулю, а не минимальна автоматически.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка