Задание 95 из 125Экстремумы функций

Линия №9 · Повышенный уровень

Найдите точку максимума функции $y = ln ((x + 3)^{7}) - 7 x - 9$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 285552

Ответ:

Показать ответ

Ответ: -2

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно найти абсциссу точки максимума для функции $y$ = ln(( $x$ + 3) $^{7}$ ) − 7x − 9. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная меняет знак с плюса на минус.

Ключевая идея: Для функции

y

= ln((

x

+ 3)

^{7}

) − 7x − 9: для данной функции получаем

y

′ =

\frac{7}{x + 3}

− 7 =

\frac{- 7 ( x + 2 )}{x + 3}

. Критическая точка:

x

= −2. Для максимума производная должна сменить знак с плюса на минус; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Последовательно исследуем данную функцию: учитываем область определения, вычисляем производную, определяем её знак и записываем именно ту величину, которая требуется в условии.

Дано:

Функция: $y = \ln((x + 3)^{7}) - 7x - 9$ .

Нужно найти: точку максимума функции.

План решения: Нужно найти абсциссу точки максимума для функции $y$ = ln(( $x$ + 3) $^{7}$ ) − 7x − 9. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная меняет знак с плюса на минус.

Главная формула для этой задачи

y' = \frac{7}{x + 3} - 7 = \frac{-7(x + 2)}{x + 3}

Для максимума производная должна сменить знак с плюса на минус; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Шаг 1. Определим область допустимых значений

ОДЗ: $x$ > −3; ln(( $x$ + 3) $^{7}$ ) = 7ln( $x$ + 3).

Шаг 2. Вычислим производную

Найдём производную: $y$ ′ = $\frac{7}{x + 3}$ − 7 = $\frac{- 7 ( x + 2 )}{x + 3}$ .

Шаг 3. Найдём критические точки

Критическая точка: $x$ = −2.

Шаг 4. Проверим смену знака производной

Производная меняет знак с плюса на минус.

Шаг 5. Запишем абсциссу

Точка максимума: $x$ = −2.

Ответ:

-2

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для функции $y$ = ln(( $x$ + 3) $^{7}$ ) − 7x − 9 применяем следующее правило: логарифм определён только при положительном аргументе; производная ln $u$ равна $u$ ′/ $u$ .
Для данной функции получаем $y$ ′ = $\frac{7}{x + 3}$ − 7 = $\frac{- 7 ( x + 2 )}{x + 3}$ .
Для максимума производная должна сменить знак с плюса на минус; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

При работе именно с $y$ = ln(( $x$ + 3) $^{7}$ ) − 7x − 9: не учесть одз логарифма или забыть производную его аргумента, из-за чего появляются недопустимые критические точки.
Остановиться после нахождения критических точек и не проверить знак производной: здесь необходимо использовать вывод «Производная меняет знак с плюса на минус».
Вычислить значение функции в найденной точке и записать его вместо абсциссы; в этой задаче ответом является $x$ = -2.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для $y$ = ln(( $x$ + 3) $^{7}$ ) − 7x − 9 проверьте допустимые значения: ОДЗ: $x$ > −3; ln(( $x$ + 3) $^{7}$ ) = 7ln( $x$ + 3).
2Сверьте производную и ключевые точки: $y$ ′ = $\frac{7}{x + 3}$ − 7 = $\frac{- 7 ( x + 2 )}{x + 3}$ ; критическая точка: $x$ = −2.
3Проверьте заключительный переход: Точка максимума: $x$ = −2; формат ответа — -2.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите точку максимума функцииy=ln((x+3)7)−7x−9.