Задание 7 из 125Производная и её применение

Линия №9 · Базовый уровень

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ), определённой на интервале (−19; 3). Найдите количество точек экстремума функции $f$ ( $x$ ), принадлежащих отрезку [−17; −4].

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер 0ED279 — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 0ED279

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 4

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно анализировать знак производной, а не вершины нарисованной кривой $f$ ′( $x$ ). Каждый переход графика производной через ось Ox со сменой знака означает переход функции от возрастания к убыванию или наоборот.

Ключевая идея: посчитать на [−17; −4] нули

f

′(

x

), в которых производная действительно меняет знак.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ), определённой на интервале (−19; 3).

Нужно найти: количество точек экстремума функции $f$ ( $x$ ), принадлежащих отрезку [−17; −4].

План решения: Нужно анализировать знак производной, а не вершины нарисованной кривой $f$ ′( $x$ ). Каждый переход графика производной через ось Ox со сменой знака означает переход функции от возрастания к убыванию или наоборот.

Поясняющая формула для этой задачи

f'(x)=0,\qquad f':+\leftrightarrow-,\qquad N=4

Для любого экстремума нужна смена знака производной.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи

Схема к задаче 0ED279: на отрезке [−17; −4] отмечено 4 нужных смен знака.

Шаг 1. Вспомним признак нужного экстремума

На рисунке дан график производной $y$ = $f$ ′( $x$ ). Точка экстремума функции $f$ ( $x$ ) возникает там, где производная меняет знак.

Шаг 2. Ограничим график заданным отрезком

Ограничиваем просмотр отрезком [−17; −4] и отмечаем на нём пересечения графика $f$ ′( $x$ ) с осью Ox.

Шаг 3. Проверим смены знака

Двигаясь слева направо, видим четыре пересечения, в каждом из которых график переходит с одной стороны оси Ox на другую. Значит, знак $f$ ′( $x$ ) меняется четыре раза.

Шаг 4. Посчитаем подходящие переходы

Следовательно, на отрезке [−17; −4] функция $f$ ( $x$ ) имеет 4 точки экстремума.

Ответ:

4

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Если $f$ ′( $x$ ) меняет знак с «+» на «−», функция имеет максимум; если с «−» на «+» — минимум.
Обе смены знака дают точки экстремума, поэтому в этой задаче считаются и максимумы, и минимумы.
Касание оси Ox без перехода на другую сторону не создаёт точку экстремума функции $f$ ( $x$ ).

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Считать максимумы и минимумы графика $y$ = $f$ ′( $x$ ) вместо его пересечений с осью Ox.
Учесть нули производной за пределами отрезка [−17; −4].
Посчитать любое касание оси как экстремум, не проверив смену знака $f$ ′( $x$ ).

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Выделите только часть графика над отрезком [−17; −4].
2У каждого нуля проверьте знаки $f$ ′( $x$ ) слева и справа.
3Пересчитайте смены знака: их ровно 4.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена