Задание 20 из 125Производная и её применение

Линия №9 · Базовый уровень

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{7}$ , $x_{8}$ . Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции $f$ ( $x$ )?

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер 026E2D — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 026E2D

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 4

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Поскольку нарисован $y$ = $f$ ′( $x$ ), не нужно смотреть, поднимается или опускается сама кривая. Важно только, положительна ли её ордината над каждой $x$ ᵢ.

Ключевая идея: выбрать

x_{3}

x_{4}

x_{5}

x_{6}

, где график производной выше оси Ox.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{7}$ , $x_{8}$ .

Нужно найти: сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции $f$ ( $x$ ).

План решения: Поскольку нарисован $y$ = $f$ ′( $x$ ), не нужно смотреть, поднимается или опускается сама кривая. Важно только, положительна ли её ордината над каждой $x$ ᵢ.

Поясняющая формула для этой задачи

f'(x_i)>0\;\Longleftrightarrow\;\text{график }f'\text{ выше }Ox

Проверяем условие отдельно в каждой отмеченной точке и считаем только подходящие точки.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи

Схема к задаче 026E2D: цветом отмечены x₃, x₄, x₅, x₆; всего 4.

Шаг 1. Свяжем знак производной с рисунком

Функция $f$ ( $x$ ) возрастает там, где $f$ ′( $x$ ) > 0. На графике производной это участки выше оси Ox.

Шаг 2. Проверим отмеченные точки

Проверяем восемь отмеченных точек. Положительные ординаты графика $f$ ′( $x$ ) получаем при $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ и $x_{6}$ .

Шаг 3. Исключим неподходящие точки

При $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{7}$ и $x_{8}$ график производной находится ниже Ox, поэтому там функция $f$ ( $x$ ) убывает.

Шаг 4. Посчитаем выбранные точки

Промежуткам возрастания принадлежат 4 отмеченные точки.

Ответ:

4

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Признак возрастания: $f$ ′( $x$ ) > 0.
На графике производной положительные значения расположены выше оси абсцисс.
Знак производной в отмеченной точке определяется ординатой графика точно над этой точкой.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Считать восходящие ветви графика $f$ ′( $x$ ), а не его положительные значения.
Включить $x_{2}$ : график рядом пересекает ось, но при $x_{2}$ ещё находится ниже неё.
Включить $x_{7}$ или $x_{8}$ , потому что кривая там местами поднимается, хотя $f$ ′( $x$ ) < 0.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для каждого $x$ ᵢ определите знак ординаты $f$ ′( $x$ ᵢ).
2Оставьте четыре точки над Ox: $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ .
3Проверьте количество: 4.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №9

Все задания линии №9 →

Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x₁, x₂…FIPI ID 71BC43 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID D13540 Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 3, 4. В…FIPI ID F1BDF1 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID A558FE Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено восемь точек: x₁, x₂…FIPI ID 28FA05 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID 57C40E

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена