На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ), определённой на интервале (−10; 7). Найдите количество точек минимума функции $f$ ( $x$ ), принадлежащих отрезку [−2; 6].

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер 396DA0 — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 396DA0

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 1

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Минимум определяется направлением смены знака производной. Другие нули на рисунке либо дают переход «+» → «−» и являются максимумами, либо лежат вне заданного отрезка.

Ключевая идея: найти единственный на [−2; 6] переход

f

′(

x

) от отрицательных значений к положительным.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ), определённой на интервале (−10; 7).

Нужно найти: количество точек минимума функции $f$ ( $x$ ), принадлежащих отрезку [−2; 6].

План решения: Минимум определяется направлением смены знака производной. Другие нули на рисунке либо дают переход «+» → «−» и являются максимумами, либо лежат вне заданного отрезка.

Поясняющая формула для этой задачи

f'(x)=0,\qquad f':-\to+,\qquad N=1

Для минимума учитываем только указанное направление смены знака.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи

Схема к задаче 396DA0: на отрезке [−2; 6] отмечено 1 нужных смен знака.

Шаг 1. Вспомним признак нужного экстремума

Для точки минимума функции $f$ ( $x$ ) производная должна сменить знак с «−» на «+».

Шаг 2. Ограничим график заданным отрезком

Рассматриваем только участок графика $y$ = $f$ ′( $x$ ) над отрезком [−2; 6] и отмечаем его нули.

Шаг 3. Проверим смены знака

На этом отрезке лишь в одном нуле график переходит из нижней полуплоскости в верхнюю: до точки $f$ ′( $x$ ) < 0, после точки $f$ ′( $x$ ) > 0.

Шаг 4. Посчитаем подходящие переходы

Следовательно, на [−2; 6] имеется 1 точка минимума функции $f$ ( $x$ ).

Ответ:

1

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

При смене $f$ ′( $x$ ): «−» → «+» функция переходит от убывания к возрастанию и имеет минимум.
При смене «+» → «−» возникает максимум.
При подсчёте учитываются только точки, принадлежащие указанному отрезку.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка