Задание 16 из 125Производная и её применение

Линия №9 · Базовый уровень

На рисунке изображён график функции $y$ = $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечены точки −1, 2, 3, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер 56EA1A — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 56EA1A

Ответ:

Показать ответ

Ответ: -1

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Высоты точек сравнивать не нужно. В точке $x$ = −1 график поднимается значительно круче, чем в остальных трёх точках, следовательно, именно $f$ ′(−1) является наибольшим.

Ключевая идея: найти среди четырёх точек самый крутой положительный наклон графика.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображён график функции $y$ = $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечены точки −1, 2, 3, 4.

Нужно найти: в какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

План решения: Высоты точек сравнивать не нужно. В точке $x$ = −1 график поднимается значительно круче, чем в остальных трёх точках, следовательно, именно $f$ ′(−1) является наибольшим.

Поясняющая формула для этой задачи

f'(x)=k_{\text{касательной}},\qquad \max f'(x)\;\Longleftrightarrow\;x=-1

Сравниваем не высоты точек графика, а угловые коэффициенты касательных в указанных абсциссах.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи

Схема к задаче 56EA1A: среди точек −1, 2, 3, 4 выделена точка −1 — самый крутой подъём.

Шаг 1. Переведём задачу на язык наклонов

Производная $f$ ′( $x$ ) равна наклону касательной к графику $y$ = $f$ ( $x$ ). Наибольшему значению соответствует самый большой наклон вверх.

Шаг 2. Сравним указанные точки

Сравниваем график при $x$ = −1, 2, 3 и 4. При $x$ = 2 и $x$ = 3 кривая убывает, поэтому производные там отрицательны; при $x$ = 4 наклон вверх небольшой.

Шаг 3. Выберем предельный наклон

При $x$ = −1 график возрастает почти вертикально, поэтому касательная имеет наибольший положительный угловой коэффициент.

Шаг 4. Запишем нужную абсциссу

Искомая точка: $x$ = −1.

Ответ:

-1

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Чем круче график возрастает, тем больше положительное значение его производной.
На участке убывания $f$ ′( $x$ ) < 0, поэтому отрицательное значение меньше любого положительного.
Значение $f$ ( $x$ ) и значение $f$ ′( $x$ ) — разные величины: высота точки не задаёт наклон.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Выбрать $x$ = 2 из-за большой высоты графика, хотя в этой точке функция убывает.
Сравнивать ординаты четырёх точек вместо наклонов касательных.
Выбрать $x$ = 4, заметив возрастание, но не сравнив его крутизну с подъёмом при $x$ = −1.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Определите знак наклона в каждой из точек −1, 2, 3, 4.
2Отбросьте точки 2 и 3 с отрицательным наклоном.
3Сравните два положительных наклона: при $x$ = −1 он больше.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №9

Все задания линии №9 →

Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x₁, x₂…FIPI ID 71BC43 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID D13540 Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 3, 4. В…FIPI ID F1BDF1 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID A558FE Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено восемь точек: x₁, x₂…FIPI ID 28FA05 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID 57C40E

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

На рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки −1, 2, 3, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.