Задание 5 из 125Производная и её применение

Линия №9 · Базовый уровень

На рисунке изображён график функции $y$ = $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{7}$ , $x_{8}$ . Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции $f$ ( $x$ ) положительна.

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер 28FA05 — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 28FA05

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 2

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Для знака производной важна локальная направленность графика. Вне зависимости от того, выше или ниже оси Ox находится точка, подъём графика слева направо означает положительную производную.

Ключевая идея: найти среди отмеченных точек те, в которых график

y

f

(

x

) возрастает.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображён график функции $y$ = $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{7}$ , $x_{8}$ .

Нужно найти: количество отмеченных точек, в которых производная функции $f$ ( $x$ ) положительна.

План решения: Для знака производной важна локальная направленность графика. Вне зависимости от того, выше или ниже оси Ox находится точка, подъём графика слева направо означает положительную производную.

Поясняющая формула для этой задачи

f'(x_i)>0\;\Longleftrightarrow\;f\text{ возрастает около }x_i

Проверяем условие отдельно в каждой отмеченной точке и считаем только подходящие точки.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи

Схема к задаче 28FA05: цветом отмечены x₂, x₈; всего 2.

Шаг 1. Свяжем знак производной с рисунком

Дан график $y$ = $f$ ( $x$ ). Производная положительна в тех отмеченных точках, около которых функция возрастает: $f$ ′( $x$ ) > 0.

Шаг 2. Проверим отмеченные точки

Просматриваем график слева направо. В точках $x_{2}$ и $x_{8}$ кривая идёт вверх, поэтому касательные в этих точках имеют положительный наклон.

Шаг 3. Исключим неподходящие точки

В точках $x_{1}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ и $x_{7}$ график убывает либо находится у поворота, поэтому их не включаем.

Шаг 4. Посчитаем выбранные точки

Положительная производная имеется в 2 отмеченных точках: $x_{2}$ и $x_{8}$ .

Ответ:

2

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

На промежутке возрастания функции выполняется $f$ ′( $x$ ) > 0.
Знак $f$ ′( $x$ ) определяется наклоном графика, а не знаком значения $f$ ( $x$ ).
В точке локального максимума или минимума гладкого графика касательная горизонтальна и $f$ ′( $x$ ) = 0.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Посчитать точки, расположенные выше оси Ox, вместо точек возрастания.
Включить $x_{4}$ : в этой точке график идёт вниз к минимуму.
Не заметить $x_{8}$ из-за того, что справа от неё график всё ещё расположен ниже оси.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Читайте кривую слева направо в каждой из восьми отмеченных точек.
2Оставьте только участки подъёма: $x_{2}$ и $x_{8}$ .
3Проверьте количество выбранных точек: 2.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №9

Все задания линии №9 →

Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x₁, x₂…FIPI ID 71BC43 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID D13540 Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 3, 4. В…FIPI ID F1BDF1 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID A558FE Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID 57C40E Производная и её применениеНа рисунке изображён график y = f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале…FIPI ID 0ED279

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена