Задание 78 из 125Экстремумы функций

Линия №9 · Повышенный уровень

Найдите наибольшее значение функции $y = 9 l n (x + 7) - 9 x + 4$ на отрезке $[- 6, 5; 0]$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 97AEB6

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 58

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно найти наибольшее значение функции на отрезке для функции $y$ = 9ln( $x$ + 7) − 9x + 4 на отрезке [−6,5; 0]. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная меняет знак с плюса на минус, поэтому в $x$ = −6 достигается максимум.

Ключевая идея: Для функции

y

= 9ln(

x

+ 7) − 9x + 4: для данной функции получаем

y

′ =

\frac{9}{x + 7}

− 9 =

\frac{- 9 ( x + 6 )}{x + 7}

. Критическая точка:

x

= −6. После определения точки максимума или нужного конца отрезка необходимо подставить найденную абсциссу в исходную функцию и записать значение

y

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Последовательно исследуем данную функцию: учитываем область определения, вычисляем производную, определяем её знак и записываем именно ту величину, которая требуется в условии.

Дано:

Функция: $y = 9ln(x + 7) - 9x + 4$ .

Отрезок: $[-6{,}5\mathbin{;} 0]$ .

Нужно найти: наибольшее значение функции.

План решения: Нужно найти наибольшее значение функции на отрезке для функции $y$ = 9ln( $x$ + 7) − 9x + 4 на отрезке [−6,5; 0]. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная меняет знак с плюса на минус, поэтому в $x$ = −6 достигается максимум.

Главная формула для этой задачи

y' = \frac{9}{x + 7} - 9 = \frac{-9(x + 6)}{x + 7}

После определения точки максимума или нужного конца отрезка необходимо подставить найденную абсциссу в исходную функцию и записать значение y.

Шаг 1. Учтём отрезок и область определения

На отрезке $x$ + 7 > 0.

Шаг 2. Вычислим производную

Найдём производную: $y$ ′ = $\frac{9}{x + 7}$ − 9 = $\frac{- 9 ( x + 6 )}{x + 7}$ .

Шаг 3. Найдём критические точки

Критическая точка: $x$ = −6.

Шаг 4. Определим положение искомого значения

Производная меняет знак с плюса на минус, поэтому в $x$ = −6 достигается максимум.

Шаг 5. Вычислим значение функции

$y$ (−6) = 9ln 1 + 54 + 4 = 58.

Ответ:

58

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для функции $y$ = 9ln( $x$ + 7) − 9x + 4 применяем следующее правило: логарифм определён только при положительном аргументе; производная ln $u$ равна $u$ ′/ $u$ .
Для данной функции получаем $y$ ′ = $\frac{9}{x + 7}$ − 9 = $\frac{- 9 ( x + 6 )}{x + 7}$ .
После определения точки максимума или нужного конца отрезка необходимо подставить найденную абсциссу в исходную функцию и записать значение $y$ .

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

При работе именно с $y$ = 9ln( $x$ + 7) − 9x + 4: не учесть одз логарифма или забыть производную его аргумента, из-за чего появляются недопустимые критические точки.
Остановиться после нахождения критических точек и не проверить знак производной: здесь необходимо использовать вывод «Производная меняет знак с плюса на минус, поэтому в $x$ = −6 достигается максимум».
Остановиться на найденной абсциссе и записать её вместо значения функции; после подстановки должен получиться ответ 58.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для $y$ = 9ln( $x$ + 7) − 9x + 4 проверьте допустимые значения: На отрезке $x$ + 7 > 0.
2Сверьте производную и ключевые точки: $y$ ′ = $\frac{9}{x + 7}$ − 9 = $\frac{- 9 ( x + 6 )}{x + 7}$ ; критическая точка: $x$ = −6.
3Проверьте заключительный переход: $y$ (−6) = 9ln 1 + 54 + 4 = 58; формат ответа — 58.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите наибольшее значение функцииy=9ln(x+7)−9x+4на отрезке [−6,5;0].