Задание 119 из 125Экстремумы функций

Линия №9 · Повышенный уровень

Найдите точку минимума функции $y = (8 x^{2} - 40 x + 40) e^{x + 4}$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 24A166

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 3

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно найти абсциссу точки минимума для функции $y$ = (8x $^{2}$ − 40x + 40) $e$ $^{x + 4}$ . Применяем правило производной произведения и производную сложной экспоненты; множитель $e$ $^{u}$ всегда положителен, поэтому знак задаёт оставшийся множитель. После этого используем знак производной, а не само значение функции: в $x$ = 3 производная меняет знак с минуса на плюс.

Ключевая идея: Для функции

y

= (8x

^{2}

− 40x + 40)

e

^{x + 4}

: для данной функции получаем

y

′ = (16x − 40)

e

^{x + 4}

+ (8x

^{2}

− 40x + 40)

e

^{x + 4}

= 8e

^{x + 4}

x

(

x

− 3). Критические точки:

x

= 0 и

x

= 3. Для минимума производная должна сменить знак с минуса на плюс; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Последовательно исследуем данную функцию: учитываем область определения, вычисляем производную, определяем её знак и записываем именно ту величину, которая требуется в условии.

Дано:

Функция: $y = (8x^{2} - 40x + 40)e^{x + 4}$ .

Нужно найти: точку минимума функции.

План решения: Нужно найти абсциссу точки минимума для функции $y$ = (8x $^{2}$ − 40x + 40) $e$ $^{x + 4}$ . Применяем правило производной произведения и производную сложной экспоненты; множитель $e$ $^{u}$ всегда положителен, поэтому знак задаёт оставшийся множитель. После этого используем знак производной, а не само значение функции: в $x$ = 3 производная меняет знак с минуса на плюс.

Главная формула для этой задачи

y' = (16x - 40)e^{x + 4} + (8x^{2} - 40x + 40)e^{x + 4} = 8e^{x + 4}x(x - 3)

Для минимума производная должна сменить знак с минуса на плюс; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Шаг 1. Определим область допустимых значений

Область определения — все действительные числа.

Шаг 2. Вычислим производную

Найдём производную: $y$ ′ = (16x − 40) $e$ $^{x + 4}$ + (8x $^{2}$ − 40x + 40) $e$ $^{x + 4}$ = 8e $^{x + 4}$ $x$ ( $x$ − 3).

Шаг 3. Найдём критические точки

Критические точки: $x$ = 0 и $x$ = 3.

Шаг 4. Проверим смену знака производной

В $x$ = 3 производная меняет знак с минуса на плюс.

Шаг 5. Запишем абсциссу

Точка минимума: $x$ = 3.

Ответ:

3

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для функции $y$ = (8x $^{2}$ − 40x + 40) $e$ $^{x + 4}$ применяем следующее правило: для произведения применяется формула (uv)′ = $u$ ′ $v$ + uv′, причём $e$ $^{u}$ > 0 при любом допустимом $x$ .
Для данной функции получаем $y$ ′ = (16x − 40) $e$ $^{x + 4}$ + (8x $^{2}$ − 40x + 40) $e$ $^{x + 4}$ = 8e $^{x + 4}$ $x$ ( $x$ − 3).
Для минимума производная должна сменить знак с минуса на плюс; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

При работе именно с $y$ = (8x $^{2}$ − 40x + 40) $e$ $^{x + 4}$ : не применить правило произведения либо забыть знак, возникающий при дифференцировании показателя экспоненты.
Остановиться после нахождения критических точек и не проверить знак производной: здесь необходимо использовать вывод «В $x$ = 3 производная меняет знак с минуса на плюс».
Вычислить значение функции в найденной точке и записать его вместо абсциссы; в этой задаче ответом является $x$ = 3.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для $y$ = (8x $^{2}$ − 40x + 40) $e$ $^{x + 4}$ проверьте допустимые значения: Область определения — все действительные числа.
2Сверьте производную и ключевые точки: $y$ ′ = (16x − 40) $e$ $^{x + 4}$ + (8x $^{2}$ − 40x + 40) $e$ $^{x + 4}$ = 8e $^{x + 4}$ $x$ ( $x$ − 3); критические точки: $x$ = 0 и $x$ = 3.
3Проверьте заключительный переход: Точка минимума: $x$ = 3; формат ответа — 3.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите точку минимума функцииy=(8x2−40x+40)ex+4.