Задание 58 из 125Экстремумы функций

Линия №9 · Повышенный уровень

Найдите наименьшее значение функции $y = 10 cos x + 14 x + 9$ на отрезке $[0; \frac{3 π}{2}]$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 76054F

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 19

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно найти наименьшее значение функции на отрезке для функции $y$ = 10cos $x$ + 14x + 9 на отрезке [0; $\frac{3 π}{2}$ ]. Дифференцируем sin $x$ или cos $x$ , а затем используем оценки −1 ≤ sin $x$ ≤ 1 и −1 ≤ cos $x$ ≤ 1 на заданном отрезке. После этого используем знак производной, а не само значение функции: функция возрастает на всём отрезке, поэтому наименьшее значение достигается при $x$ = 0.

Ключевая идея: Для функции

y

= 10cos

x

+ 14x + 9: для данной функции получаем

y

′ = −10sin

x

+ 14. Так как sin

x

≤ 1, то

y

′ ≥ 14 − 10 = 4 > 0. После определения точки минимума или нужного конца отрезка необходимо подставить найденную абсциссу в исходную функцию и записать значение

y

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Последовательно исследуем данную функцию: учитываем область определения, вычисляем производную, определяем её знак и записываем именно ту величину, которая требуется в условии.

Дано:

Функция: $y = 10cos x + 14x + 9$ .

Отрезок: $[0\mathbin{;} \frac{3\pi}{2}]$ .

Нужно найти: наименьшее значение функции.

План решения: Нужно найти наименьшее значение функции на отрезке для функции $y$ = 10cos $x$ + 14x + 9 на отрезке [0; $\frac{3 π}{2}$ ]. Дифференцируем sin $x$ или cos $x$ , а затем используем оценки −1 ≤ sin $x$ ≤ 1 и −1 ≤ cos $x$ ≤ 1 на заданном отрезке. После этого используем знак производной, а не само значение функции: функция возрастает на всём отрезке, поэтому наименьшее значение достигается при $x$ = 0.

Главная формула для этой задачи

y' = -10sin x + 14

После определения точки минимума или нужного конца отрезка необходимо подставить найденную абсциссу в исходную функцию и записать значение y.

Шаг 1. Учтём отрезок и область определения

Функция определена на всём отрезке [0; $\frac{3 π}{2}$ ].

Шаг 2. Вычислим производную

Найдём производную: $y$ ′ = −10sin $x$ + 14.

Шаг 3. Определим знак производной

Так как sin $x$ ≤ 1, то $y$ ′ ≥ 14 − 10 = 4 > 0.

Шаг 4. Определим положение искомого значения

Функция возрастает на всём отрезке, поэтому наименьшее значение достигается при $x$ = 0.

Шаг 5. Вычислим значение функции

$y$ (0) = 10cos 0 + 9 = 19.

Ответ:

19

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для функции $y$ = 10cos $x$ + 14x + 9 применяем следующее правило: (sin $x$ )′ = cos $x$ , (cos $x$ )′ = −sin $x$ ; значения синуса и косинуса лежат между −1 и 1.
Для данной функции получаем $y$ ′ = −10sin $x$ + 14.
После определения точки минимума или нужного конца отрезка необходимо подставить найденную абсциссу в исходную функцию и записать значение $y$ .

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

При работе именно с $y$ = 10cos $x$ + 14x + 9: потерять минус в производной cos $x$ или подставить неверное табличное значение синуса или косинуса на конце отрезка.
Остановиться после нахождения критических точек и не проверить знак производной: здесь необходимо использовать вывод «Функция возрастает на всём отрезке, поэтому наименьшее значение достигается при $x$ = 0».
Остановиться на найденной абсциссе и записать её вместо значения функции; после подстановки должен получиться ответ 19.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для $y$ = 10cos $x$ + 14x + 9 проверьте допустимые значения: Функция определена на всём отрезке [0; $\frac{3 π}{2}$ ].
2Сверьте производную и ключевые точки: $y$ ′ = −10sin $x$ + 14; так как sin $x$ ≤ 1, то $y$ ′ ≥ 14 − 10 = 4 > 0.
3Проверьте заключительный переход: $y$ (0) = 10cos 0 + 9 = 19; формат ответа — 19.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите наименьшее значение функцииy=10cosx+14x+9на отрезке [0;23π​].