Задание 66 из 125Экстремумы функций

Линия №9 · Повышенный уровень

Найдите точку минимума функции $y = x^{3} - 14 x^{2} + 49 x + 3$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 5750FE

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 7

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно найти абсциссу точки минимума для функции $y$ = $x$ $^{3}$ − 14x $^{2}$ + 49x + 3. Дифференцируем многочлен по степенному правилу, раскладываем производную на множители и определяем её знак между найденными корнями. После этого используем знак производной, а не само значение функции: в $x$ = 7 производная меняет знак с минуса на плюс.

Ключевая идея: Для функции

y

x

^{3}

− 14x

^{2}

+ 49x + 3: для данной функции получаем

y

′ = 3x

^{2}

− 28x + 49 = (3x − 7)(

x

− 7). Критические точки:

x

\frac{7}{3}

x

= 7. Для минимума производная должна сменить знак с минуса на плюс; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Последовательно исследуем данную функцию: учитываем область определения, вычисляем производную, определяем её знак и записываем именно ту величину, которая требуется в условии.

Дано:

Функция: $y = x^{3} - 14x^{2} + 49x + 3$ .

Нужно найти: точку минимума функции.

План решения: Нужно найти абсциссу точки минимума для функции $y$ = $x$ $^{3}$ − 14x $^{2}$ + 49x + 3. Дифференцируем многочлен по степенному правилу, раскладываем производную на множители и определяем её знак между найденными корнями. После этого используем знак производной, а не само значение функции: в $x$ = 7 производная меняет знак с минуса на плюс.

Главная формула для этой задачи

y' = 3x^{2} - 28x + 49 = (3x - 7)(x - 7)

Для минимума производная должна сменить знак с минуса на плюс; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Шаг 1. Определим область допустимых значений

Область определения — все действительные числа.

Шаг 2. Вычислим производную

Найдём производную: $y$ ′ = 3x $^{2}$ − 28x + 49 = (3x − 7)( $x$ − 7).

Шаг 3. Найдём критические точки

Критические точки: $x$ = $\frac{7}{3}$ и $x$ = 7.

Шаг 4. Проверим смену знака производной

В $x$ = 7 производная меняет знак с минуса на плюс.

Шаг 5. Запишем абсциссу

Точка минимума: $x$ = 7.

Ответ:

7

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для функции $y$ = $x$ $^{3}$ − 14x $^{2}$ + 49x + 3 применяем следующее правило: производная суммы равна сумме производных, а ( $x$ $^{n}$ )′ = nx $^{n - 1}$ ; знак произведения меняется при переходе через корень нечётной кратности.
Для данной функции получаем $y$ ′ = 3x $^{2}$ − 28x + 49 = (3x − 7)( $x$ − 7).
Для минимума производная должна сменить знак с минуса на плюс; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

При работе именно с $y$ = $x$ $^{3}$ − 14x $^{2}$ + 49x + 3: ошибиться при дифференцировании степени или разложении квадратного трёхчлена и получить неверные критические точки.
Остановиться после нахождения критических точек и не проверить знак производной: здесь необходимо использовать вывод «В $x$ = 7 производная меняет знак с минуса на плюс».
Вычислить значение функции в найденной точке и записать его вместо абсциссы; в этой задаче ответом является $x$ = 7.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для $y$ = $x$ $^{3}$ − 14x $^{2}$ + 49x + 3 проверьте допустимые значения: Область определения — все действительные числа.
2Сверьте производную и ключевые точки: $y$ ′ = 3x $^{2}$ − 28x + 49 = (3x − 7)( $x$ − 7); критические точки: $x$ = $\frac{7}{3}$ и $x$ = 7.
3Проверьте заключительный переход: Точка минимума: $x$ = 7; формат ответа — 7.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите точку минимума функцииy=x3−14x2+49x+3.