На рисунке изображён график функции $y$ = $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{7}$ , $x_{8}$ . В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции $f$ ( $x$ ) положительна.

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер 655F85 — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 655F85

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 5

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно отличать знак функции от знака её наклона. Точки $x_{1}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ и $x_{8}$ лежат на подъёмах графика, хотя часть этих точек расположена ниже оси Ox.

Ключевая идея: выбрать пять отмеченных точек на восходящих фрагментах графика.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображён график функции $y$ = $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{7}$ , $x_{8}$ .

Нужно найти: количество точек (из отмеченных), в которых производная функции $f$ ( $x$ ) положительна.

План решения: Нужно отличать знак функции от знака её наклона. Точки $x_{1}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ и $x_{8}$ лежат на подъёмах графика, хотя часть этих точек расположена ниже оси Ox.

Поясняющая формула для этой задачи

f'(x_i)>0\;\Longleftrightarrow\;f\text{ возрастает около }x_i

Проверяем условие отдельно в каждой отмеченной точке и считаем только подходящие точки.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи

Схема к задаче 655F85: цветом отмечены x₁, x₃, x₄, x₅, x₈; всего 5.

Шаг 1. Свяжем знак производной с рисунком

Для графика $y$ = $f$ ( $x$ ) условие $f$ ′( $x$ ) > 0 означает, что функция возрастает в окрестности отмеченной точки.

Шаг 2. Проверим отмеченные точки

Просматриваем восемь точек слева направо. Восходящий наклон имеется при $x_{1}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ и $x_{8}$ .

Шаг 3. Исключим неподходящие точки

При $x_{2}$ , $x_{6}$ и $x_{7}$ график убывает, поэтому производная там отрицательна.

Шаг 4. Посчитаем выбранные точки

Положительная производная имеется в 5 отмеченных точках.

Ответ:

5

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

На участке возрастания $f$ ′( $x$ ) > 0.
Положительная производная определяется направлением касательной вверх слева направо.
Отрицательное значение $f$ ( $x$ ) не мешает производной быть положительной.