Задание 72 из 125Экстремумы функций

Линия №9 · Повышенный уровень

Найдите наименьшее значение функции $y = 12 x - ln (12 x) + 4$ на отрезке $[\frac{1}{24}; \frac{5}{24}]$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: BDEF76

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 5

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно найти наименьшее значение функции на отрезке для функции $y$ = 12x − ln(12x) + 4 на отрезке [ $\frac{1}{24}$ ; $\frac{5}{24}$ ]. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому здесь достигается минимум.

Ключевая идея: Для функции

y

= 12x − ln(12x) + 4: для данной функции получаем

y

′ = 12 −

\frac{1}{x}

. Из

y

′ = 0 получаем

x

\frac{1}{12}

, и эта точка лежит на отрезке. После определения точки минимума или нужного конца отрезка необходимо подставить найденную абсциссу в исходную функцию и записать значение

y

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Последовательно исследуем данную функцию: учитываем область определения, вычисляем производную, определяем её знак и записываем именно ту величину, которая требуется в условии.

Дано:

Функция: $y = 12x - \ln(12x) + 4$ .

Отрезок: $[\frac{1}{24}\mathbin{;} \frac{5}{24}]$ .

Нужно найти: наименьшее значение функции.

План решения: Нужно найти наименьшее значение функции на отрезке для функции $y$ = 12x − ln(12x) + 4 на отрезке [ $\frac{1}{24}$ ; $\frac{5}{24}$ ]. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому здесь достигается минимум.

Главная формула для этой задачи

y' = 12 - \frac{1}{x}

После определения точки минимума или нужного конца отрезка необходимо подставить найденную абсциссу в исходную функцию и записать значение y.

Шаг 1. Учтём отрезок и область определения

На отрезке $x$ > 0, поэтому логарифм определён.

Шаг 2. Вычислим производную

Найдём производную: $y$ ′ = 12 − $\frac{1}{x}$ .

Шаг 3. Найдём критические точки

Из $y$ ′ = 0 получаем $x$ = $\frac{1}{12}$ , и эта точка лежит на отрезке.

Шаг 4. Определим положение искомого значения

Производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому здесь достигается минимум.

Шаг 5. Вычислим значение функции

$y$ ( $\frac{1}{12}$ ) = 1 − ln 1 + 4 = 5.

Ответ:

5

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для функции $y$ = 12x − ln(12x) + 4 применяем следующее правило: логарифм определён только при положительном аргументе; производная ln $u$ равна $u$ ′/ $u$ .
Для данной функции получаем $y$ ′ = 12 − $\frac{1}{x}$ .
После определения точки минимума или нужного конца отрезка необходимо подставить найденную абсциссу в исходную функцию и записать значение $y$ .

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

При работе именно с $y$ = 12x − ln(12x) + 4: не учесть одз логарифма или забыть производную его аргумента, из-за чего появляются недопустимые критические точки.
Остановиться после нахождения критических точек и не проверить знак производной: здесь необходимо использовать вывод «Производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому здесь достигается минимум».
Остановиться на найденной абсциссе и записать её вместо значения функции; после подстановки должен получиться ответ 5.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для $y$ = 12x − ln(12x) + 4 проверьте допустимые значения: На отрезке $x$ > 0, поэтому логарифм определён.
2Сверьте производную и ключевые точки: $y$ ′ = 12 − $\frac{1}{x}$ ; из $y$ ′ = 0 получаем $x$ = $\frac{1}{12}$ , и эта точка лежит на отрезке.
3Проверьте заключительный переход: $y$ ( $\frac{1}{12}$ ) = 1 − ln 1 + 4 = 5; формат ответа — 5.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите наименьшее значение функцииy=12x−ln(12x)+4на отрезке [241​;245​].