Задание 122 из 125Экстремумы функций

Линия №9 · Повышенный уровень

Найдите точку максимума функции $y = x^{3} + 10 x^{2} + 25 x + 16$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 35C66B

Ответ:

Показать ответ

Ответ: -5

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно найти абсциссу точки максимума для функции $y$ = $x$ $^{3}$ + 10x $^{2}$ + 25x + 16. Дифференцируем многочлен по степенному правилу, раскладываем производную на множители и определяем её знак между найденными корнями. После этого используем знак производной, а не само значение функции: в $x$ = −5 производная меняет знак с плюса на минус.

Ключевая идея: Для функции

y

x

^{3}

+ 10x

^{2}

+ 25x + 16: для данной функции получаем

y

′ = 3x

^{2}

+ 20x + 25 = (3x + 5)(

x

+ 5). Критические точки:

x

= −5 и

x

= −

\frac{5}{3}

. Для максимума производная должна сменить знак с плюса на минус; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Последовательно исследуем данную функцию: учитываем область определения, вычисляем производную, определяем её знак и записываем именно ту величину, которая требуется в условии.

Дано:

Функция: $y = x^{3} + 10x^{2} + 25x + 16$ .

Нужно найти: точку максимума функции.

План решения: Нужно найти абсциссу точки максимума для функции $y$ = $x$ $^{3}$ + 10x $^{2}$ + 25x + 16. Дифференцируем многочлен по степенному правилу, раскладываем производную на множители и определяем её знак между найденными корнями. После этого используем знак производной, а не само значение функции: в $x$ = −5 производная меняет знак с плюса на минус.

Главная формула для этой задачи

y' = 3x^{2} + 20x + 25 = (3x + 5)(x + 5)

Для максимума производная должна сменить знак с плюса на минус; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Шаг 1. Определим область допустимых значений

Область определения — все действительные числа.

Шаг 2. Вычислим производную

Найдём производную: $y$ ′ = 3x $^{2}$ + 20x + 25 = (3x + 5)( $x$ + 5).

Шаг 3. Найдём критические точки

Критические точки: $x$ = −5 и $x$ = − $\frac{5}{3}$ .

Шаг 4. Проверим смену знака производной

В $x$ = −5 производная меняет знак с плюса на минус.

Шаг 5. Запишем абсциссу

Точка максимума: $x$ = −5.

Ответ:

-5

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для функции $y$ = $x$ $^{3}$ + 10x $^{2}$ + 25x + 16 применяем следующее правило: производная суммы равна сумме производных, а ( $x$ $^{n}$ )′ = nx $^{n - 1}$ ; знак произведения меняется при переходе через корень нечётной кратности.
Для данной функции получаем $y$ ′ = 3x $^{2}$ + 20x + 25 = (3x + 5)( $x$ + 5).
Для максимума производная должна сменить знак с плюса на минус; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

При работе именно с $y$ = $x$ $^{3}$ + 10x $^{2}$ + 25x + 16: ошибиться при дифференцировании степени или разложении квадратного трёхчлена и получить неверные критические точки.
Остановиться после нахождения критических точек и не проверить знак производной: здесь необходимо использовать вывод «В $x$ = −5 производная меняет знак с плюса на минус».
Вычислить значение функции в найденной точке и записать его вместо абсциссы; в этой задаче ответом является $x$ = -5.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для $y$ = $x$ $^{3}$ + 10x $^{2}$ + 25x + 16 проверьте допустимые значения: Область определения — все действительные числа.
2Сверьте производную и ключевые точки: $y$ ′ = 3x $^{2}$ + 20x + 25 = (3x + 5)( $x$ + 5); критические точки: $x$ = −5 и $x$ = − $\frac{5}{3}$ .
3Проверьте заключительный переход: Точка максимума: $x$ = −5; формат ответа — -5.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите точку максимума функцииy=x3+10x2+25x+16.