Задание 49 из 125Производная и её применение

Линия №9 · Базовый уровень

На рисунке изображён график функции $y$ = $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечены точки −2, 1, 3, 4. В какой из этих точек значение производной функции $f$ ( $x$ ) наибольшее? В ответе укажите эту точку.

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер B65F3D — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: B65F3D

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 4

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно сравнивать направления касательных, а не ординаты. В $x$ = 4 график почти вертикально идёт вверх, поэтому положительный угловой коэффициент там больше, чем в $x$ = 1.

Ключевая идея: выбрать

x

= 4 как точку наиболее крутого возрастания.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображён график функции $y$ = $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечены точки −2, 1, 3, 4.

Нужно найти: в какой из этих точек значение производной функции $f$ ( $x$ ) наибольшее? В ответе укажите эту точку.

План решения: Нужно сравнивать направления касательных, а не ординаты. В $x$ = 4 график почти вертикально идёт вверх, поэтому положительный угловой коэффициент там больше, чем в $x$ = 1.

Поясняющая формула для этой задачи

f'(x)=k_{\text{касательной}},\qquad \max f'(x)\;\Longleftrightarrow\;x=4

Сравниваем не высоты точек графика, а угловые коэффициенты касательных в указанных абсциссах.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи

Схема к задаче B65F3D: среди точек −2, 1, 3, 4 выделена точка 4 — самый крутой подъём.

Шаг 1. Переведём задачу на язык наклонов

Производная $f$ ′( $x$ ) показывает наклон касательной. Наибольшей производной соответствует самый крутой подъём графика.

Шаг 2. Сравним указанные точки

Сравниваем точки $x$ = −2, 1, 3 и 4. При $x$ = −2 и $x$ = 3 график убывает, поэтому производные отрицательны; при $x$ = 1 график возрастает умеренно.

Шаг 3. Выберем предельный наклон

При $x$ = 4 кривая после минимума поднимается наиболее круто, поэтому $f$ ′(4) — самое большое из четырёх значений.

Шаг 4. Запишем нужную абсциссу

Искомая точка: $x$ = 4.

Ответ:

4

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Чем круче касательная поднимается слева направо, тем больше $f$ ′( $x$ ).
Положительная производная больше отрицательной.
Высота точки графика не определяет величину производной.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Выбрать $x$ = 3 из-за высокого значения функции, хотя график там убывает.
Выбрать $x$ = 1, не сравнив крутизну с подъёмом при $x$ = 4.
Сравнивать значения $f$ ( $x$ ), а не наклоны касательных.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Определите знак наклона в точках −2, 1, 3, 4.
2Среди положительных наклонов сравните их крутизну.
3Убедитесь, что самый крутой подъём расположен при $x$ = 4.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №9

Все задания линии №9 →

Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x₁, x₂…FIPI ID 71BC43 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID D13540 Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 3, 4. В…FIPI ID F1BDF1 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID A558FE Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено восемь точек: x₁, x₂…FIPI ID 28FA05 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID 57C40E

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена