Задание 57 из 125Экстремумы функций

Линия №9 · Повышенный уровень

Найдите точку минимума функции $y = x^{2} - 28 x + 96 \cdot ln x + 31$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 47384A

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 8

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно найти абсциссу точки минимума для функции $y$ = $x$ $^{2}$ − 28x + 96ln $x$ + 31. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: на (0; 6) производная положительна, на (6; 8) отрицательна, а при $x$ > 8 снова положительна. поэтому в $x$ = 8 находится минимум.

Ключевая идея: Для функции

y

x

^{2}

− 28x + 96ln

x

+ 31: для данной функции получаем

y

′ = 2x − 28 +

\frac{96}{x}

\frac{2 ( x - 6 ) ( x - 8 )}{x}

. Критические точки:

x

= 6 и

x

= 8. Для минимума производная должна сменить знак с минуса на плюс; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Последовательно исследуем данную функцию: учитываем область определения, вычисляем производную, определяем её знак и записываем именно ту величину, которая требуется в условии.

Дано:

Функция: $y = x^{2} - 28x + 96ln x + 31$ .

Нужно найти: точку минимума функции.

План решения: Нужно найти абсциссу точки минимума для функции $y$ = $x$ $^{2}$ − 28x + 96ln $x$ + 31. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: на (0; 6) производная положительна, на (6; 8) отрицательна, а при $x$ > 8 снова положительна. поэтому в $x$ = 8 находится минимум.

Главная формула для этой задачи

y' = 2x - 28 + \frac{96}{x} = \frac{2(x - 6)(x - 8)}{x}

Для минимума производная должна сменить знак с минуса на плюс; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Шаг 1. Определим область допустимых значений

ОДЗ: $x$ > 0.

Шаг 2. Вычислим производную

Найдём производную: $y$ ′ = 2x − 28 + $\frac{96}{x}$ = $\frac{2 ( x - 6 ) ( x - 8 )}{x}$ .

Шаг 3. Найдём критические точки

Критические точки: $x$ = 6 и $x$ = 8.

Шаг 4. Проверим смену знака производной

На (0; 6) производная положительна, на (6; 8) отрицательна, а при $x$ > 8 снова положительна. Поэтому в $x$ = 8 находится минимум.

Шаг 5. Запишем абсциссу

Точка минимума: $x$ = 8.

Ответ:

8

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для функции $y$ = $x$ $^{2}$ − 28x + 96ln $x$ + 31 применяем следующее правило: логарифм определён только при положительном аргументе; производная ln $u$ равна $u$ ′/ $u$ .
Для данной функции получаем $y$ ′ = 2x − 28 + $\frac{96}{x}$ = $\frac{2 ( x - 6 ) ( x - 8 )}{x}$ .
Для минимума производная должна сменить знак с минуса на плюс; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

При работе именно с $y$ = $x$ $^{2}$ − 28x + 96ln $x$ + 31: не учесть одз логарифма или забыть производную его аргумента, из-за чего появляются недопустимые критические точки.
Остановиться после нахождения критических точек и не проверить знак производной: здесь необходимо использовать вывод «На (0; 6) производная положительна, на (6; 8) отрицательна, а при $x$ > 8 снова положительна. Поэтому в $x$ = 8 находится минимум».
Вычислить значение функции в найденной точке и записать его вместо абсциссы; в этой задаче ответом является $x$ = 8.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для $y$ = $x$ $^{2}$ − 28x + 96ln $x$ + 31 проверьте допустимые значения: ОДЗ: $x$ > 0.
2Сверьте производную и ключевые точки: $y$ ′ = 2x − 28 + $\frac{96}{x}$ = $\frac{2 ( x - 6 ) ( x - 8 )}{x}$ ; критические точки: $x$ = 6 и $x$ = 8.
3Проверьте заключительный переход: Точка минимума: $x$ = 8; формат ответа — 8.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите точку минимума функцииy=x2−28x+96⋅lnx+31.