Задание 13 из 125Производная и её применение

Линия №9 · Базовый уровень

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечено одиннадцать точек: $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{7}$ , $x_{8}$ , $x_{9}$ , $x_{10}$ , $x_{11}$ . Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции $f$ ( $x$ )?

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер D143BD — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: D143BD

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 6

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Здесь изображена не исходная функция, а её производная. Поэтому направление нарисованной кривой не важно: для каждой $x$ ᵢ нужно лишь определить, находится значение $f$ ′( $x$ ᵢ) выше или ниже нулевой линии.

Ключевая идея: посчитать отмеченные точки, в которых график

f

′(

x

) расположен ниже оси Ox.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечено одиннадцать точек: $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{7}$ , $x_{8}$ , $x_{9}$ , $x_{10}$ , $x_{11}$ .

Нужно найти: сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции $f$ ( $x$ ).

План решения: Здесь изображена не исходная функция, а её производная. Поэтому направление нарисованной кривой не важно: для каждой $x$ ᵢ нужно лишь определить, находится значение $f$ ′( $x$ ᵢ) выше или ниже нулевой линии.

Поясняющая формула для этой задачи

f'(x_i)<0\;\Longleftrightarrow\;\text{график }f'\text{ ниже }Ox

Проверяем условие отдельно в каждой отмеченной точке и считаем только подходящие точки.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи

Схема к задаче D143BD: цветом отмечены x₁, x₂, x₅, x₇, x₈, x₉; всего 6.

Шаг 1. Свяжем знак производной с рисунком

На рисунке дан график $y$ = $f$ ′( $x$ ). Функция $f$ ( $x$ ) убывает там, где её производная отрицательна, то есть где график $f$ ′( $x$ ) лежит ниже оси Ox.

Шаг 2. Проверим отмеченные точки

Проверяем одиннадцать отмеченных абсцисс. Ниже оси находятся точки графика с абсциссами $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{5}$ , $x_{7}$ , $x_{8}$ и $x_{9}$ .

Шаг 3. Исключим неподходящие точки

Точки $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{6}$ , $x_{10}$ и $x_{11}$ лежат на участках $f$ ′( $x$ ) > 0, поэтому функция там возрастает и их не считаем.

Шаг 4. Посчитаем выбранные точки

Промежуткам убывания принадлежат 6 отмеченных точек.

Ответ:

6

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Функция $f$ ( $x$ ) убывает на тех промежутках, где $f$ ′( $x$ ) < 0.
На графике $y$ = $f$ ′( $x$ ) отрицательные значения находятся ниже оси Ox.
Возрастание или убывание самого графика производной не определяет монотонность $f$ ( $x$ ).

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Искать участки, где нарисованный график $f$ ′( $x$ ) идёт вниз, вместо участков $f$ ′( $x$ ) < 0.
Включить $x_{6}$ : в этой точке значение производной уже положительно.
Пропустить $x_{9}$ , потому что рядом график быстро меняется: сама точка всё ещё ниже оси Ox.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Подчеркните в условии, что изображён $y$ = $f$ ′( $x$ ).
2Для каждого $x$ ᵢ сравните высоту графика с осью Ox.
3Сверьте список: $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{5}$ , $x_{7}$ , $x_{8}$ , $x_{9}$ — 6 точек.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена