Задание 116 из 125Экстремумы функций

Линия №9 · Повышенный уровень

Найдите точку максимума функции $y = (x + 8) \cdot e^{12 - x}$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 3A3CE8

Ответ:

Показать ответ

Ответ: -7

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно найти абсциссу точки максимума для функции $y$ = ( $x$ + 8) $e$ $^{12 - x}$ . Применяем правило производной произведения и производную сложной экспоненты; множитель $e$ $^{u}$ всегда положителен, поэтому знак задаёт оставшийся множитель. После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная меняет знак с плюса на минус.

Ключевая идея: Для функции

y

= (

x

+ 8)

e

^{12 - x}

: для данной функции получаем

y

′ =

e

^{12 - x}

− (

x

+ 8)

e

^{12 - x}

= −

e

^{12 - x}

(

x

+ 7). Экспонента положительна, поэтому критическая точка

x

= −7. Для максимума производная должна сменить знак с плюса на минус; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Последовательно исследуем данную функцию: учитываем область определения, вычисляем производную, определяем её знак и записываем именно ту величину, которая требуется в условии.

Дано:

Функция: $y = (x + 8)e^{12 - x}$ .

Нужно найти: точку максимума функции.

План решения: Нужно найти абсциссу точки максимума для функции $y$ = ( $x$ + 8) $e$ $^{12 - x}$ . Применяем правило производной произведения и производную сложной экспоненты; множитель $e$ $^{u}$ всегда положителен, поэтому знак задаёт оставшийся множитель. После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная меняет знак с плюса на минус.

Главная формула для этой задачи

y' = e^{12 - x} - (x + 8)e^{12 - x} = -e^{12 - x}(x + 7)

Для максимума производная должна сменить знак с плюса на минус; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Шаг 1. Определим область допустимых значений

Область определения — все действительные числа.

Шаг 2. Вычислим производную

Найдём производную: $y$ ′ = $e$ $^{12 - x}$ − ( $x$ + 8) $e$ $^{12 - x}$ = − $e$ $^{12 - x}$ ( $x$ + 7).

Шаг 3. Найдём критические точки

Экспонента положительна, поэтому критическая точка $x$ = −7.

Шаг 4. Проверим смену знака производной

Производная меняет знак с плюса на минус.

Шаг 5. Запишем абсциссу

Точка максимума: $x$ = −7.

Ответ:

-7

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для функции $y$ = ( $x$ + 8) $e$ $^{12 - x}$ применяем следующее правило: для произведения применяется формула (uv)′ = $u$ ′ $v$ + uv′, причём $e$ $^{u}$ > 0 при любом допустимом $x$ .
Для данной функции получаем $y$ ′ = $e$ $^{12 - x}$ − ( $x$ + 8) $e$ $^{12 - x}$ = − $e$ $^{12 - x}$ ( $x$ + 7).
Для максимума производная должна сменить знак с плюса на минус; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

При работе именно с $y$ = ( $x$ + 8) $e$ $^{12 - x}$ : не применить правило произведения либо забыть знак, возникающий при дифференцировании показателя экспоненты.
Остановиться после нахождения критических точек и не проверить знак производной: здесь необходимо использовать вывод «Производная меняет знак с плюса на минус».
Вычислить значение функции в найденной точке и записать его вместо абсциссы; в этой задаче ответом является $x$ = -7.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для $y$ = ( $x$ + 8) $e$ $^{12 - x}$ проверьте допустимые значения: Область определения — все действительные числа.
2Сверьте производную и ключевые точки: $y$ ′ = $e$ $^{12 - x}$ − ( $x$ + 8) $e$ $^{12 - x}$ = − $e$ $^{12 - x}$ ( $x$ + 7); экспонента положительна, поэтому критическая точка $x$ = −7.
3Проверьте заключительный переход: Точка максимума: $x$ = −7; формат ответа — -7.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите точку максимума функцииy=(x+8)⋅e12−x.