Задание 65 из 125Экстремумы функций

Линия №9 · Повышенный уровень

Найдите наименьшее значение функции $y = 9 x - ln ((x + 5)^{9})$ на отрезке $[- 4, 5; 0]$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: DE13F8

Ответ:

Показать ответ

Ответ: -36

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно найти наименьшее значение функции на отрезке для функции $y$ = 9x − ln(( $x$ + 5) $^{9}$ ) на отрезке [−4,5; 0]. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому в $x$ = −4 достигается минимум.

Ключевая идея: Для функции

y

= 9x − ln((

x

+ 5)

^{9}

): для данной функции получаем

y

′ = 9 −

\frac{9}{x + 5}

\frac{9 ( x + 4 )}{x + 5}

. Критическая точка:

x

= −4. После определения точки минимума или нужного конца отрезка необходимо подставить найденную абсциссу в исходную функцию и записать значение

y

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Последовательно исследуем данную функцию: учитываем область определения, вычисляем производную, определяем её знак и записываем именно ту величину, которая требуется в условии.

Дано:

Функция: $y = 9x - \ln((x + 5)^{9})$ .

Отрезок: $[-4{,}5\mathbin{;} 0]$ .

Нужно найти: наименьшее значение функции.

План решения: Нужно найти наименьшее значение функции на отрезке для функции $y$ = 9x − ln(( $x$ + 5) $^{9}$ ) на отрезке [−4,5; 0]. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому в $x$ = −4 достигается минимум.

Главная формула для этой задачи

y' = 9 - \frac{9}{x + 5} = \frac{9(x + 4)}{x + 5}

После определения точки минимума или нужного конца отрезка необходимо подставить найденную абсциссу в исходную функцию и записать значение y.

Шаг 1. Учтём отрезок и область определения

На отрезке $x$ + 5 > 0, поэтому ln(( $x$ + 5) $^{9}$ ) = 9ln( $x$ + 5).

Шаг 2. Вычислим производную

Найдём производную: $y$ ′ = 9 − $\frac{9}{x + 5}$ = $\frac{9 ( x + 4 )}{x + 5}$ .

Шаг 3. Найдём критические точки

Критическая точка: $x$ = −4.

Шаг 4. Определим положение искомого значения

Производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому в $x$ = −4 достигается минимум.

Шаг 5. Вычислим значение функции

$y$ (−4) = −36 − 9ln 1 = −36.

Ответ:

-36

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для функции $y$ = 9x − ln(( $x$ + 5) $^{9}$ ) применяем следующее правило: логарифм определён только при положительном аргументе; производная ln $u$ равна $u$ ′/ $u$ .
Для данной функции получаем $y$ ′ = 9 − $\frac{9}{x + 5}$ = $\frac{9 ( x + 4 )}{x + 5}$ .
После определения точки минимума или нужного конца отрезка необходимо подставить найденную абсциссу в исходную функцию и записать значение $y$ .

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

При работе именно с $y$ = 9x − ln(( $x$ + 5) $^{9}$ ): не учесть одз логарифма или забыть производную его аргумента, из-за чего появляются недопустимые критические точки.
Остановиться после нахождения критических точек и не проверить знак производной: здесь необходимо использовать вывод «Производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому в $x$ = −4 достигается минимум».
Остановиться на найденной абсциссе и записать её вместо значения функции; после подстановки должен получиться ответ -36.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для $y$ = 9x − ln(( $x$ + 5) $^{9}$ ) проверьте допустимые значения: На отрезке $x$ + 5 > 0, поэтому ln(( $x$ + 5) $^{9}$ ) = 9ln( $x$ + 5).
2Сверьте производную и ключевые точки: $y$ ′ = 9 − $\frac{9}{x + 5}$ = $\frac{9 ( x + 4 )}{x + 5}$ ; критическая точка: $x$ = −4.
3Проверьте заключительный переход: $y$ (−4) = −36 − 9ln 1 = −36; формат ответа — -36.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите наименьшее значение функцииy=9x−ln((x+5)9)на отрезке [−4,5;0].