Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
↪ВойтиЧерез VK ID
Меню
Задание 48 из 125Производная и её применение
Линия №9 · Базовый уровень

На рисунке изображены график функции = () и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции () в точке .

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер 093E32
Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 093E32

Показать ответ

Ответ: -2,5

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Касательная имеет крутой отрицательный наклон. Её вертикальное падение −5 при небольшом горизонтальном пробеге 2 даёт производную −2,5.

Ключевая идея: вычислить крутой отрицательный наклон как .
Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображены график функции = () и касательная к нему в точке с абсциссой .

Нужно найти: значение производной функции () в точке .

План решения: Касательная имеет крутой отрицательный наклон. Её вертикальное падение −5 при небольшом горизонтальном пробеге 2 даёт производную −2,5.

Поясняющая формула для этой задачи

f′(x0)=k=ΔyΔx=−52=−2,5f'(x_0)=k=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{-5}{2}=-2{,}5

Производная равна угловому коэффициенту касательной; вертикальное изменение делим на горизонтальное.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи
Схема к задаче 093E32: Δx = 2, Δy = −5, поэтому f′(x₀) = −2,5.Треугольник наклона касательнойΔx = 2Δy = −5f′(x₀) = Δy / Δx = −2,5
Схема к задаче 093E32: Δx = 2, Δy = −5, поэтому f′(x₀) = −2,5.

Шаг 1. Вспомним геометрический смысл производной

В точке касания производная равна угловому коэффициенту касательной: ′() = .

Шаг 2. Считаем приращения по сетке

По двум узловым точкам прямой: при движении вправо на 2 клетки касательная опускается на 5 клеток. Значит, Δ = 2, Δ = −5.

Шаг 3. Вычислим угловой коэффициент

Подставляем: = = = −2,5.

Шаг 4. Запишем значение производной

Следовательно, ′() = −2,5.

Ответ:−2,5-2{,}5
Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач
  • Производная в точке касания равна наклону касательной.
  • Формула наклона: = .
  • Чем больше падение при одинаковом пробеге, тем больше модуль отрицательной производной.
Открыть теорию по математике →
Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом
  • Потерять отрицательный знак.
  • Разделить 2 на −5 и получить −0,4.
  • Считать наклон по -образной кривой, а не по прямой касательной.
Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом
  1. 1Выберите два узла на нисходящей прямой.
  2. 2Проверьте Δ = 2, Δ = −5.
  3. 3Убедитесь: − = −2,5.
Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №9
Все задания линии №9 →
Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x₁, x₂…FIPI ID 71BC43Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID D13540Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 3, 4. В…FIPI ID F1BDF1Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀​…FIPI ID A558FEПроизводная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено восемь точек: x₁, x₂…FIPI ID 28FA05Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀​…FIPI ID 57C40E
Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ
Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачуБанк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭКонструктор вариантаСобрать тренировочный вариантПробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена