Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
↪ВойтиЧерез VK ID
Меню
Задание 15 из 125Производная и её применение
Линия №9 · Базовый уровень

На рисунке изображены график функции = () и касательная к нему в точке с абсциссой ​. Найдите значение производной функции () в точке ​.

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер 51B8B6
Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 51B8B6

Показать ответ

Ответ: -1,25

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Отрицательный знак виден уже по направлению касательной: она понижается слева направо. Точное значение получается из отношения вертикального спуска −5 к горизонтальному пробегу 4.

Ключевая идея: вычислить отрицательный наклон касательной как .
Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображены график функции = () и касательная к нему в точке с абсциссой ​.

Нужно найти: значение производной функции () в точке ​.

План решения: Отрицательный знак виден уже по направлению касательной: она понижается слева направо. Точное значение получается из отношения вертикального спуска −5 к горизонтальному пробегу 4.

Поясняющая формула для этой задачи

f′(x0)=k=ΔyΔx=−54=−1,25f'(x_0)=k=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{-5}{4}=-1{,}25

Производная равна угловому коэффициенту касательной; вертикальное изменение делим на горизонтальное.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи
Схема к задаче 51B8B6: Δx = 4, Δy = −5, поэтому f′(x₀) = −1,25.Треугольник наклона касательнойΔx = 4Δy = −5f′(x₀) = Δy / Δx = −1,25
Схема к задаче 51B8B6: Δx = 4, Δy = −5, поэтому f′(x₀) = −1,25.

Шаг 1. Вспомним геометрический смысл производной

Производная в точке касания равна угловому коэффициенту касательной: ′() = .

Шаг 2. Считаем приращения по сетке

Выбираем на касательной две точки в узлах сетки. При движении вправо на 4 клетки прямая опускается на 5 клеток, поэтому Δ = 4, Δ = −5.

Шаг 3. Вычислим угловой коэффициент

Подставляем в формулу: = = = −1,25.

Шаг 4. Запишем значение производной

Следовательно, ′() = −1,25.

Ответ:−1,25-1{,}25
Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач
  • Геометрически ′() — это угловой коэффициент касательной в точке .
  • = ; при выборе направления слева направо Δ > 0.
  • Если касательная идёт вниз, то Δ < 0 и < 0.
Открыть теорию по математике →
Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом
  • Записать Δ = 5 без минуса, хотя правая точка касательной ниже левой.
  • Разделить 4 на −5 вместо −5 на 4.
  • Считывать наклон параболы между произвольными точками, а не наклон прямой касательной.
Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом
  1. 1Выберите две узловые точки прямой.
  2. 2Проверьте: вправо 4, вниз 5, значит Δ = −5.
  3. 3Убедитесь, что = −1,25.
Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №9
Все задания линии №9 →
Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x₁, x₂…FIPI ID 71BC43Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID D13540Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 3, 4. В…FIPI ID F1BDF1Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀​…FIPI ID A558FEПроизводная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено восемь точек: x₁, x₂…FIPI ID 28FA05Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀​…FIPI ID 57C40E
Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ
Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачуБанк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭКонструктор вариантаСобрать тренировочный вариантПробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена