На рисунке изображён график функции $y$ = $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечено семь точек: $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{7}$ . Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции $f$ ( $x$ ) положительна.

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер 0B2322 — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 0B2322

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 4

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В каждой $x$ ᵢ нужно определить направление касательной. Четыре точки $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ расположены на восходящих фрагментах кривой, даже если некоторые из них находятся ниже оси Ox.

Ключевая идея: посчитать отмеченные точки на восходящих участках графика:

x_{1}

x_{2}

x_{5}

x_{6}

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображён график функции $y$ = $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечено семь точек: $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{7}$ .

Нужно найти: количество отмеченных точек, в которых производная функции $f$ ( $x$ ) положительна.

План решения: В каждой $x$ ᵢ нужно определить направление касательной. Четыре точки $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ расположены на восходящих фрагментах кривой, даже если некоторые из них находятся ниже оси Ox.

Поясняющая формула для этой задачи

f'(x_i)>0\;\Longleftrightarrow\;f\text{ возрастает около }x_i

Проверяем условие отдельно в каждой отмеченной точке и считаем только подходящие точки.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи

Схема к задаче 0B2322: цветом отмечены x₁, x₂, x₅, x₆; всего 4.

Шаг 1. Свяжем знак производной с рисунком

На графике $y$ = $f$ ( $x$ ) положительная производная соответствует локальному возрастанию функции: $f$ ′( $x$ ) > 0.

Шаг 2. Проверим отмеченные точки

Просматриваем семь отмеченных точек. График поднимается слева направо при $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{5}$ и $x_{6}$ .

Шаг 3. Исключим неподходящие точки

При $x_{3}$ , $x_{4}$ и $x_{7}$ график убывает, поэтому в этих точках производная отрицательна и они не подходят.

Шаг 4. Посчитаем выбранные точки

Положительная производная имеется в 4 отмеченных точках.

Ответ:

4

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Если функция возрастает около точки $x$ , то $f$ ′( $x$ ) > 0.
Положение выше или ниже оси Ox характеризует знак $f$ ( $x$ ), а не знак производной.
Направление графика всегда оценивается при увеличении $x$ , то есть слева направо.